多区画モデル

マルチコンパートメントモデルは、システムのコンパートメント間で物質やエネルギーがどのように伝達されるかを記述するために使用される数学モデルの一種です。多くの場合、物理システムが複雑すぎて完全な方程式でモデル化できない場合に、問題を離散化してパラメータの数を減らす方がはるかに容易になるため、この方法が用いられます。各コンパートメントは均質な実体であり、その中でモデル化される実体は等価であると仮定されます。マルチコンパートメントモデルは、集中定数モデルに分類されます。より一般的な数学モデルと同様に、マルチコンパートメントモデルでは、変数を微分方程式のように連続的に扱うことも、マルコフ連鎖のように離散的に扱うこともできます。モデル化されるシステムによっては、確率的または決定論的に扱うことができます。

多区画モデルは、薬物動態学、疫学、生物医学、システム理論、複雑系理論、工学、物理学、情報科学、社会科学など、多くの分野で用いられています。回路システムも多区画モデルとして捉えることができます。一般的に、多区画モデルの数式は簡略化され、各区画内の濃度などの単一のパラメータのみが表されます。

システム理論においては、それはネットワークの記述に関わるものであり、その構成要素は、入力信号を処理する方法に関して同等な要素の集団を表す区画である。

• 「区画」内における物質またはエネルギーの瞬時かつ均一な分布。
• 各区画間の物質またはエネルギーの交換速度は、これらの区画の密度に関係している。
• 通常、物質が区画間を移動する際に化学反応を起こさないことが望ましい。
• 細胞の濃度に関心がある場合、通常は体積は時間とともに一定であると仮定されますが、これは実際には完全に正しいとは限りません。

多区画モデルの最も単純な応用例は、単一細胞濃度モニタリングである（上の図を参照）。細胞の体積をV、溶質の質量をq、入力をu ( t )とし、溶液の分泌量が細胞内の溶液密度に比例するとすると、細胞内の溶液濃度Cは時間とともに次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

ここでkは比例定数である。

シミュレーション解析とモデリング 2 SAAM IIは、マルチコンパートメント モデルの開発とテストを支援するために特別に設計されたソフトウェア システムです。使いやすいグラフィカル ユーザー インターフェイスを備えており、モデルの視覚的表現を作成することでコンパートメント モデルを構築します。このモデルから、プログラムは自動的に常微分方程式のシステムを作成します。このプログラムは、モデルをシミュレーションしてデータに適合させ、最適なパラメータ推定値と関連する統計値を返すことができます。代謝とホルモンの動態 (たとえば、グルコース、脂質、またはインスリン) を研究している科学者によって開発されました。^{[ 1 ]}その後、トレーサー研究と薬物動態に使用されました。マルチコンパートメント モデルは、原則としてMATLABや C++ 言語などの他のソフトウェアを使用して開発および実行できますが、SAAM II が提供するユーザー インターフェイスにより、特に複雑さが増す場合に、モデラー (およびモデラー以外) がシステムをより適切に制御できます。

離散モデルは、多くの場合時間間隔である離散変数に関係する。${\displaystyle \Delta t}$離散型多区画モデルの一例として、ロトカ・ボルテラモデルの離散版が挙げられる。^{[ 2 ]}ここでは、捕食者と被食者の2つの区画をそれぞれで表す。${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$それぞれ。各方程式において、各区画は質量作用項によって互いに結合されている。離散的な時間ステップにわたって${\displaystyle \Delta t}$そうすれば

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}}$

ここ

• の${\displaystyle x(t)}$そして${\displaystyle y(t)}$これらの用語は、特定の時点におけるその人口の数を表す。${\displaystyle t}$;
• の${\displaystyle \alpha x(t)\Delta t}$この用語は、獲物の誕生を表す。
• 質量作用項${\displaystyle \beta x(t)y(t)\Delta t}$は捕食者によって死亡する獲物の数です。
• 質量作用項${\displaystyle \delta x(t)y(t)\Delta t}$捕食者の出生数を、捕食された獲物の数に応じて表す。
• の${\displaystyle \gamma y(t)\Delta t}$この用語は捕食者の死を意味する。
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,}$そして${\displaystyle \gamma }$これらは、各遷移項の重みを決定する実数値パラメータです。

これらの方程式は反復計算によって容易に解くことができる。

上記の離散ロトカ・ボルテラ方程式の例は、式を並べ替えて極限を取ることで連続方程式に変換できます。$\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}}$

これにより、常微分方程式系が得られます。このモデルを微分方程式として扱うことで、微積分法を用いてシステムの動特性をより詳細に研究することが可能になります。

区画の数が増えるにつれて、モデルは非常に複雑になり、解は通常の計算では得られない。

n個の細胞からなる多区画モデルの式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$のために${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$（閉鎖系では、すべての区画の「内容物」の総量は一定であるため）

または行列形式で表すと次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

どこ

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}$そして${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$（閉鎖系では、すべての区画の「内容物」の総量は一定であるため）

閉鎖系（下記参照）の特殊な場合、すなわち$\displaystyle \mathbf {u} =0}$そうすれば、一般的な解決策が存在する。

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

どこ$\displaystyle \lambda _{1}}$、$\displaystyle \lambda _{2}}$、 ... そして$\displaystyle \lambda _{n}}$は、​${\displaystyle \mathbf {K} }$;$\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$、$\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$、 ... そして${\displaystyle \mathbf {v_{n}} }$はそれぞれ、${\displaystyle \mathbf {K} }$; そして${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$、 .... そして${\displaystyle c_{n}}$これらは定数です。

しかし、閉じたシステムの「内容」が一定であることを保証するという上記の要件が与えられた場合、すべての固有値と固有ベクトルのペアに対して、以下のいずれかが成り立つことが示される。${\displaystyle \lambda =0}$または${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$また、その固有値の1つが0であるとします。${\displaystyle \lambda _{1}}$

それで

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

どこ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$のために${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

この解は次のように並べ替えることができます。

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

このやや洗練されていない方程式は、定数または入力のないnセル多区画モデルのすべての解が次の形式であることを示している。

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {A} }$nxn行列であり、${\displaystyle \lambda _{2}}$、${\displaystyle \lambda _{3}}$、 ... そして${\displaystyle \lambda _{n}}$は定数です。${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

一般的に、区画数が増えるにつれて、モデルの代数的解と数値的解の両方を見つけることが難しくなります。しかし、自然界にはめったに存在しないものの、トポロジーに一定の規則性が見られる特殊なモデルでは、解を見つけやすくなります。モデルは、セルの相互接続と入出力特性に基づいて分類できます。

1. 閉鎖モデル：シンクもソースもなく、文字通りすべてのk _oi = 0 およびu _i = 0。
2. オープンモデル：細胞間にシンクまたはソース、あるいはその両方が存在する。
3. カテナリーモデル：すべての区画が鎖状に配置され、各区画は隣接する区画とのみ接続されています。このモデルは2つ以上のセルで構成されます。
4. 循環モデル：これは、3 つ以上のセルを持つ懸垂線モデルの特殊なケースで、最初のセルと最後のセルが接続されています。つまり、k _{1 n} ≠ 0 または/およびk _{n 1} ≠ 0 です。
5. 乳頭体モデル：中心となる区画と、それに接続する周辺区画から構成される。他の区画間には相互接続はない。
6. 還元可能なモデル：これは、互いに関連性のないモデルの集合です。コンピュータにおける「木」と「森」という概念に非常によく似ています。

• 数理モデル
• 生物医学工学
• 生物学的ニューロンモデル
• 疫学におけるコンパートメントモデル
• 生理学的薬物動態モデリング

• ゴッドフリー、K.、『コンパートメントモデルとその応用』、アカデミックプレス、1983年（ISBN 0-12-286970-2)
• Anderson, DH、「コンパートメントモデルとトレーサー動態」、Springer-Verlag Lecture Notes in Biomathematics #50、1983年（ISBN 0-387-12303-2)
• Jacquez, J. A、『生物学と医学におけるコンパートメント分析』第2版、ミシガン大学出版局、1985年。
• Evans, WC、「IAQ研究における線形システム、コンパートメントモデル、および推定可能性の問題」、Tichenor, B.、「室内空気汚染源の特性評価と関連するシンク効果」、ASTM STP 1287、pp.  239–262、1996年（ISBN） 0-8031-2030-3)