モンテルの定理

モンテルの定理は、数学の一分野である複素解析において、正則関数族に関する2 つの定理のうちの 1 つを指します。これらはフランスの数学者ポール・モンテルにちなんで名付けられ、正則関数族が正規となる条件を規定しています。

定理の最初の、より単純なバージョンは、複素数の開 集合上で定義された正則関数の族が正規関数となるのは、それが局所的に一様に有界である場合のみであることを述べています。

この定理には、次のような形式的に強い系があります。 が 開集合 上の有理型関数の族であるとします。が で正規でなくの近傍であるような 場合、 は複素平面上で稠密です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z_{0}\in D}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle U\subset D}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}f(U)}$

モンテルの定理のより強力なバージョン (基本正規性テストと呼ばれることもある) は、すべて同じ 2 つの値を省略する正則関数の族が正規であると規定しています。 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,}$

上記の定理の条件は正規性にとって十分ですが、必須ではありません。実際、族は正規ですが、複素数値を省略しません。 ${\displaystyle \{z\mapsto z\}}$

モンテルの定理の最初のバージョンは、マーティの定理（球面微分が局所的に有界である場合にのみ族が正規であるという定理）とコーシーの積分公式から直接導かれるものである。^[1]

この定理はトーマス・ジョアンネス・スティルチェスとウィリアム・フォッグ・オズグッドにちなんでスティルチェス・オズグッド定理とも呼ばれている。^[2]

上で述べた系は次のように導出されます。 のすべての関数が点 の同じ近傍を省略すると仮定します。 マップと後合成することで、定理の最初のバージョンによって正規化される、一様に境界付けられた族が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}}$

モンテルの定理の2番目のバージョンは、単位円から2回穴を開けた平面への正則普遍被覆が存在するという事実を使用して、最初のバージョンから演繹することができます。（このような被覆は楕円モジュラー関数によって与えられます）。 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{a,b\}}$

このバージョンのモンテルの定理は、ザルクマンの補題を使用してピカールの定理から導くこともできます。

ブロッホの原理として知られるヒューリスティックな原理（ザルクマンの補題によって明確化される）は、関数全体が定数であることを意味する特性が、正則関数の族が正規であることを保証する特性に対応すると述べています。

たとえば、上で述べたモンテルの定理の最初のバージョンはリウヴィルの定理の類似物であり、2 番目のバージョンはピカールの定理に対応します。

• モンテルスペース
• 基本正規性検定
• リーマン写像定理

• ジョン・B・コンウェイ（1978年）。『1つの複素変数の関数I』Springer- Verlag。ISBN 0-387-90328-3。
• 「モンテルの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• JL シフ (1993)。普通の家族。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-97967-0。

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