モンスキーの定理

幾何学において、モンスキーの定理は、正方形を奇数の等面積三角形に分割することは不可能であると述べている。^[1] 言い換えれば、正方形には奇数の等分割が存在しない。

この問題は1965年にフレッド・リッチマンによってアメリカ数学月刊誌に提起され、 1970年にポール・モンスキーによって証明された。^{[2] [3] [4]}

Monsky の証明は組合せ論的手法と代数的手法を組み合わせたもので、概要は次のとおりです。

1. 正方形を、頂点が (0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1) である単位正方形とします。等しい面積のn 個の三角形に分割される場合、各三角形の面積は 1/ nです。
2. 正方形内の各点を、その座標の2 進値に応じて 3 色のうちの 1 色で色付けします。
3. 直線には 2 色の点のみが含まれることを示します。
4. スペルナーの補題を使用して、正方形を辺と辺が交わる三角形に分割する場合、頂点に 3 つの異なる色がある三角形が少なくとも 1 つ含まれている必要があることを示します。
5. 直線の性質から、正方形を三角形に分割した際に、必ずしも辺と辺が接していなくても、必ず三色三角形が存在すると結論付けます。
6. デカルト幾何学を使用して、頂点が 3 つの異なる色を持つ三角形の面積の 2 進数値が 1 より大きいことを示します。したがって、正方形を三角形に分割するたびに、面積の 2 進数値が 1 より大きい三角形が少なくとも 1 つ含まれている必要があります。
7. nが奇数の場合、1/ nの2進値は1なので、正方形を面積が1/ nの三角形に分割することは不可能である。^[5]

モンスキーの定理によれば、正方形を奇数個の三角形に分割するには、面積の異なる三角形が必要である。正方形を奇数個の三角形に分割するために必要な面積差の下限と最適な分割が研究されている。^{[6] [7] [8]}

この定理は高次元にも一般化できる。すなわち、n次元の超立方体は、単体の数がnの倍数である場合にのみ、等しい体積の単体に分割できる。^[2]