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幾何学において、ガスパール・モンジュにちなんで名付けられたモンジュの定理は、平面上の任意の 3 つの円のうち、いずれも他の円の内側に完全には入っていない場合、3 組の外接線のそれぞれの交点は同一直線上にあることを述べています。
平面上の任意の 2 つの円について、外接線は両方の円に接しながらも円間を通らない直線です。任意の 2 つの円に対して、このような外接線が 2 本存在します。このような各ペアには、拡張ユークリッド平面内に一意の交点があります。モンジュの定理によれば、3 組の円によって与えられる 3 つの点は、常に一直線上にあります。2 つの円が同じサイズの場合、2 つの外接線は平行です。この場合、モンジュの定理によれば、他の 2 つの交点は、それらの 2 つの外接線に平行な直線上になければなりません。言い換えると、2 つの外接線が無限遠点で交差すると考えられる場合、他の 2 つの交点は同じ無限遠点を通る直線上になければならないため、それらの間の直線は外接線と同じ角度をとります。
証明
最も簡単な証明は、3次元のアナロジーを採用する。[1] 3つの円が異なる半径の3つの球に対応するものとする。円は、球の中心を通る平面から生じる赤道に対応する。3つの球は、2つの平面の間に一意に挟まれる。球の各ペアは、両方の球に外部接する円錐を定義し、この円錐の頂点は、2つの外部接線の交点、すなわち外部相似中心に対応する。円錐の1つの線は各平面にあるので、各円錐の頂点は両方の平面にあり、したがって2つの平面の交線上のどこかにあるはずである。したがって、3つの外部相似中心は同一直線上にある。
モンジュの定理は、デザルグの定理を使って証明することもできます。別の簡単な証明では、メネラウスの定理を使用します。これは、各円の直径を使って比率を計算できるためです。メネラウスの定理を使用すると、循環形式によって比率が排除されます。デザルグの定理は、3 つの点が直線上にあることも主張しており、2 次元ではなく 3 次元で考え、直線を 2 つの平面の交点として表すという同じ考え方を使用して同様の証明が行われます。
参照
参考文献
- ^ ウェルズ、デイビッド (1991)。ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』。ニューヨーク：ペンギンブックス。pp. 153–154。ISBN 0-14-011813-6。
文献
- グラハム、LA（1959）。独創的な数学の問題と方法。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0486205452. 2012年12月1日閲覧。