ミンコフスキーの第二定理

数学において、ミンコフスキーの第 2 定理は、格子上の ノルムが取る値とその基本セルの体積に関する数値の幾何学の結果です。

K をn次元ユークリッド空間R ⁿ内の正の有限体積の中心対称凸閉体 とする。Kに付随するゲージ^[1]または距離^{[2] [3]}ミンコフスキー関数g は次のように定義される 。 $${\displaystyle g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.}$$

逆に、 R ⁿ上のノルムgが与えられたとき、 K は次のように 定義される。$${\displaystyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}$$

Γ をR ⁿの格子とします。Γ上のKまたはgの連続する最小値は、k番目の連続する最小値λ _{k を}、 λK がΓのk個の線形独立ベクトルを含むような数 λの最小値に設定することによって定義されます。 0 < λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ ... ≤ λ _n < ∞です。

連続する最小値は^{[4] [5] [6]を満たす。} $${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).}$$

線形独立な格子ベクトルb ₁ , b ₂ , ..., b _nの基底はg ( b _j ) = λ _jで定義できます。

下限は、頂点が± b _j / λ _jである凸多面体 2 nを考えることによって証明されます。凸多面体の内部はKで囲まれており、体積は格子の基本セルの整数倍の2 ⁿ / n ! λ ₁ λ ₂ ... λ _n倍です(多面体を各基底ベクトルに沿ってλ _jでスケーリングして、格子点ベクトルを持つ2 ⁿ n単体 を取得するとわかります)。

上限を証明するには、関数f _j ( x ) が、内の点x を、ある実数 に対してと書ける内の点の部分集合の重心に送る場合を考えます。すると、座標変換はヤコビ行列式 を持ちます。 およびがの 内部にあり、( と共に)ならば が成り立ちます。ここで、 (特に の内部)に含まれることは、凸性と対称性によるものです。しかし、 の内部にある格子点は、 の定義により、常に の線形結合として表現できるため、 の任意の 2 つの異なる点は格子ベクトルで分離できません。したがって、 は格子のプリミティブセル (体積 を持つ) に囲まれている必要があり、したがって となります。 ${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$${\textstyle a_{i}}$$${\displaystyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2}$$${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$${\textstyle K}$${\textstyle pq=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$${\textstyle a_{k}\neq 0}$$${\displaystyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K}$$${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$${\textstyle \lambda _{k}K}$${\textstyle \lambda _{k}K}$${\textstyle \lambda _{k}K}$${\textstyle \lambda _{k}}$${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$${\textstyle K'=h(K)=\{x'\mid h(x)=x'\}}$${\textstyle K'}$${\textstyle \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$${\textstyle \operatorname {vol} (K)/J=\operatorname {vol} (K')\leq \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$

• Cassels, JWS (1957)。ディオファントス近似入門。ケンブリッジ数学・数理物理学論文集。第45巻。ケンブリッジ大学出版局。Zbl 0077.04801  。
• Cassels, JWS (1997)。数の幾何学入門。数学の古典（1971年版の再版）。Springer - Verlag。ISBN 978-3-540-61788-4。
• ナサンソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論: 逆問題と和集合の幾何学。数学の大学院テキスト。第 165 巻。シュプリンガー出版。pp. 180–185。ISBN 0-387-94655-1.ZBL0859.11003  。​
• シュミット、ヴォルフガング M. (1996)。ディオファントス近似とディオファントス方程式。数学講義ノート。第 1467 巻 (第 2 版)。シュプリンガー出版。p. 6。ISBN 3-540-54058-X.ZBL0754.11020  。​
• シーゲル、カール・ルートヴィヒ（1989年）。コマラヴォル・S・チャンドラセカラン（編）。数の幾何学に関する講義。シュプリンガー出版。ISBN 3-540-50629-2.ZBL0691.10021  。​