ミラー定理

ミラー定理は、等価回路を作成するプロセスを指します。直列に接続された 2 つの電圧源によって供給される浮遊インピーダンス要素は、対応するインピーダンスを持つ 2 つの接地要素に分割できると主張しています。並列に接続された 2 つの電流源によって供給されるインピーダンスに関するデュアル ミラー定理もあります。2 つのバージョンは、2 つのキルヒホッフの回路法則に基づいています。

ミラー定理は単なる数学的表現ではありません。これらの定理は、インピーダンスの変更に関する重要な回路現象（ミラー効果、仮想接地、ブートストラップ、負性インピーダンスなど）を説明し、さまざまな一般的な回路（フィードバック増幅器、抵抗および時間依存コンバータ、負性インピーダンスコンバータなど）の設計と理解に役立ちます。定理は「回路解析」で役立ち、特にフィードバック回路^[1]や高周波での特定のトランジスタ増幅器を解析するのに役立ちます。^[2]

ミラー定理とミラー効果の間には密接な関係があります。定理は効果の一般化とみなされ、効果は定理の特殊なケースとして考えることができます。

ミラーの定理は、線形回路において、インピーダンス の分岐が存在し、ノード電圧 と を持つ 2 つのノードを接続している場合、この分岐を、それぞれインピーダンスとで接地された対応するノードを接続する 2 つの分岐に置き換えることができることを証明しています。ミラーの定理は、等価 2 ポート ネットワーク手法を使用して 2 ポートを同等のものに置き換え、ソース吸収定理を適用することで証明できます。^{[3]このバージョンのミラーの定理は、}キルヒホッフの電圧法則に基づいています。そのため、電圧 のミラーの定理とも呼ばれています。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle {\frac {Z}{1-K}}}$${\displaystyle {\frac {KZ}{K-1}}}$${\displaystyle K={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$

ミラー定理は、インピーダンス要素が、共通のグランドを介して直列に接続された 2 つの任意の (必ずしも依存しない) 電圧源によって供給されることを意味します。実際には、そのうちの 1 つは電圧 を持つメインの (独立した) 電圧源として機能し、もう 1 つは電圧 を持つ追加の (線形従属の) 電圧源として機能します。ミラー定理の考え方 (入力ソースと出力ソースの側から見た回路インピーダンスを変更する) は、追加の電圧源を接続しない場合と接続した場合の 2 つの状況を比較することで、以下で明らかになります。 ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$${\displaystyle V_{2}}$

がゼロの場合（第2の電圧源がないか、インピーダンスを持つ要素の右端が接地されている場合）、要素を流れる入力電流は、オームの法則に従って、次の式によってのみ決定されます。${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}}$

そして回路の入力インピーダンスは

${\displaystyle Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.}$

2番目の電圧源が含まれているため、入力電流は両方の電圧に依存します。極性に応じて、から減算または加算されるため、入力電流は減少/増加します。 ${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={( 1-K)}{I_{in0}}}$

入力源側から見た回路の入力インピーダンスはそれに応じて増加/減少する。

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.}$

したがって、ミラー定理は、比例電圧を持つ 2 番目の電圧源を入力電圧源と直列に接続すると、入力源側から見た有効電圧、電流、および回路インピーダンスがそれぞれ変化するという${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$事実を表しています。極性に応じて、補助電圧源として機能し、メインの電圧源がインピーダンスに電流を流すのを助けたり、妨げたりします。 ${\displaystyle V_{2}}$

2 つの電圧源の組み合わせを新しい合成電圧源として提示するほかに、実際の要素と 2 番目の電圧源を、動的に変更されたインピーダンスを持つ新しい仮想要素に結合することによって定理を説明することもできます。この観点から、はインピーダンス全体の電圧降下を人為的に増加/減少させ、電流を減少/増加させる追加電圧です。電圧間の比率によって、得られるインピーダンスの値が決まり (下の表を参照)、合計で 6 つの一般的なアプリケーション グループが示されます。 ${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{z}}$${\displaystyle Z}$

出力源側から見た回路インピーダンスは、電圧とを入れ替えて係数を次のように置き換えると、同様に定義できます。${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\frac {1}{K}}}$

${\displaystyle Z_{in2}={\frac {{K}{Z}}{K-1}}.}$

ミラー定理は、接地された一般的な線形ネットワークの2つの端子間に接続されたインピーダンスを持つ要素で構成される配置で観察され、実装されることがよくあります。^[2]通常、ゲインを持つ電圧増幅器がこのような線形ネットワークとして機能しますが、他のデバイスもこの役割を果たすことができます。たとえば、ポテンショメトリックヌルバランスメーターのポテンショメーターと人、電気機械式積分器（ポテンショメトリックフィードバックセンサーを使用したサーボ機構）などです。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle A_{V}=K}$

アンプの実装では、入力電圧はとして機能し、出力電圧はとして機能します。多くの場合、入力電圧源には何らかの内部インピーダンスがあるか、追加の入力インピーダンスが接続されており、 と組み合わされてフィードバックが導入されます。アンプの種類 (非反転、反転、差動) に応じて、フィードバックは正、負、または混合になります。 ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{o}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle Z_{int}}$${\displaystyle Z}$

ミラー増幅器の配置には 2 つの側面があります。

• アンプは、実際のインピーダンスを仮想インピーダンスに変換する追加の電圧源と考えることができます（アンプは実際の要素のインピーダンスを変更します）。
• 仮想インピーダンスは、アンプ入力に並列に接続された要素と考えることができます (仮想インピーダンスはアンプ入力インピーダンスを変更します)。

アンプの入力ポートと出力ポートを接続するインピーダンスの導入により、解析プロセスが非常に複雑になります。ミラー定理は、特にフィードバック^[2]を含む一部の回路をより単純な等価回路に変換することで、回路の複雑さを軽減するのに役立ちます。しかし、ミラー定理は等価回路を作成するための効果的なツールであるだけでなく、追加電圧によるインピーダンスの変更に基づいて回路を設計および理解するための強力なツールでもあります。出力電圧と入力電圧の極性とそれらの大きさの比率に応じて、6 つの一般的な状況グループがあります。そのうちのいくつかでは、ミラー現象は、望ましい (ブートストラップ) または望ましくない (ミラー効果) 意図しない効果として現れます。他の場合には、意図的に導入されます。

これらのアプリケーションでは、出力電圧は、ループに沿って移動する入力電圧に対して反対の極性で挿入されます(ただし、グランドに対しては極性は同じです)。その結果、インピーダンスにかかる有効電圧とインピーダンスを流れる電流が減少し、入力インピーダンスが増加します。 ${\displaystyle V_{o}}$${\displaystyle V_{i}}$

増加したインピーダンスは、ゲインが の非反転増幅器によって実装されます。出力電圧 (の大きさ) は入力電圧よりも小さく、部分的に入力電圧を中和します。例としては、不完全な電圧フォロワ (エミッタ、ソース、カソードフォロワなど) や、入力インピーダンスが適度に増加する直列負帰還 (エミッタ縮退) を備えた増幅器があります。 ${\displaystyle 0<A_{v}$${\displaystyle V_{i}}$

無限インピーダンスは、 の非反転増幅器を使用します。出力電圧は入力電圧に等しく、入力電圧を完全に中和します。例としては、電位差ヌルバランスメーター、オペアンプフォロワー、および回路の入力インピーダンスが大幅に増加する直列負帰還付きアンプ（オペアンプフォロワーと非反転増幅器）があります。この手法はブートストラップと呼ばれ、バイアス回路、入力ガード回路など で意図的に使用されます^{[4] 。}${\displaystyle A_{v}=1}$${\displaystyle V_{i}}$

電流反転によって得られる負のインピーダンスは、非反転増幅器によって実装されます。出力電圧が入力電圧よりも高いため、電流の方向が変わります。入力電圧源に何らかの内部インピーダンスがある場合、または別のインピーダンス要素を介して接続されている場合、正のフィードバックが発生します。一般的なアプリケーションは、負のフィードバックと正のフィードバックの両方を使用する電流反転付き負インピーダンス コンバータ(INIC) です (負のフィードバックは非反転増幅器を実現するために使用され、正のフィードバックはインピーダンスを変更するために使用されます)。 ${\displaystyle A_{v}>1}$${\displaystyle Z_{int}}$

これらのアプリケーションでは、出力電圧は、ループに沿って移動する入力電圧に対して同じ極性で挿入されます(ただし、グランドに対しては極性が反対になります)。その結果、インピーダンスの有効電圧と電流が増加し、入力インピーダンスが減少します。${\displaystyle V_{o}}$${\displaystyle V_{i}}$

インピーダンスの減少は、通常、ある程度のゲインを持つ反転増幅器によって実現されます。有効入力容量が増加する共通エミッタ、共通ソース、共通カソードの増幅段では、望ましくないミラー効果として観察されることがあります。汎用オペアンプの 周波数補償やトランジスタミラー積分器は、ミラー効果の有用な使用例です。${\displaystyle 10<A_{v}$

ゼロインピーダンスは、非常に高いゲインを持つ反転増幅器（通常はオペアンプ）を使用します。出力電圧はインピーダンスの両端の電圧降下とほぼ等しく、インピーダンスを完全に中和します。回路は短絡として動作し、入力に仮想接地が現れます。そのため、定電圧源で駆動しないでください。この目的のために、一部の回路は定電流源または内部インピーダンスを持つ実際の電圧源によって駆動されます：電流-電圧変換器（トランスインピーダンス増幅器）、容量性積分器（電流積分器または電荷増幅器とも呼ばれます）、抵抗-電圧変換器（インピーダンスの代わりに接続された抵抗センサー）。 ${\displaystyle A_{v}\to \infty }$${\displaystyle V_{z}}$${\displaystyle Z}$

残りのデバイスには、入力に直列に接続された追加のインピーダンスがあります。電圧-電流変換器(トランスコンダクタンス増幅器)、反転増幅器、加算増幅器、誘導性積分器、容量性微分器、抵抗-容量積分器、容量-抵抗微分器、誘導性-抵抗微分器などです。このリストの反転積分器は、ミラー効果を極限まで発揮した有用かつ望ましい応用例です。

並列負帰還を備えたこれらすべてのオペアンプ反転回路では、入力電流が最大限に増加します。入力電流は、オームの法則に従って入力電圧と入力インピーダンスによってのみ決定され、インピーダンスには依存しません。 ${\displaystyle Z}$

電圧反転を伴う負のインピーダンスは、差動入力を備えたオペアンプに負のフィードバックと正のフィードバックの両方を適用することによって実装されます。入力電圧源は内部インピーダンスを持つか、別のインピーダンス要素を介して入力に接続されている必要があります。これらの条件下では、出力電圧がインピーダンスの電圧降下を超えると、回路の入力電圧の極性が変化します( )。 ${\displaystyle Z_{int}>0}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{z}}$${\displaystyle V_{i}=V_{z}-V_{o}<0}$

典型的なアプリケーションは、電圧反転機能付き負性インピーダンスコンバータ（VNIC）です。^[5]興味深いのは、回路の入力電圧が反転オペアンプの入力に印加されているにもかかわらず、出力電圧と同じ極性を持っていることです。入力ソースは、回路の入力電圧と出力電圧の両方に対して反対の極性を持っています。

元のミラー効果は、2 つのノード間に接続された容量性インピーダンスによって実現されます。ミラー定理は、ノード間に接続された任意のインピーダンスを意味するため、ミラー効果を一般化します。定数係数も想定されるため、上記の式は有効です。ただし、これらの要件に違反した場合でもミラー定理の修正特性が存在し、インピーダンスと係数を動的にすることで、この配置をさらに一般化できます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle K}$

非線形要素。インピーダンスの他に、ミラー配置は任意の要素の IV 特性を変更できます。ダイオード ログ コンバータの回路は、ダイオードの対数順方向 IV 曲線が軸と重なる垂直直線に変換される、非線形の実質的にゼロの抵抗の例です。 ${\displaystyle y}$

定数係数ではありません。係数が変化すると、特殊な仮想要素が得られます。ジャイレータ回路は、抵抗が変更されてインダクタンス、静電容量、または逆抵抗を模倣する仮想要素の例です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle R_{L}}$

ミラー定理の双対バージョンもあり、これはキルヒホッフの電流法則に基づいています(電流に関するミラー定理)。回路にインピーダンスを持つ分岐があり、2 つの電流と が接地に収束する場合、この分岐を、それぞれインピーダンスが と に等しい、参照電流を伝導する 2 つの分岐に置き換えることができます( ) 。双対定理は、2 ポート ネットワークをそれと同等のものに置き換え、ソース吸収定理を適用することで証明できます。^[3]${\displaystyle Z}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle (1+\alpha )Z}$${\displaystyle {\frac {(1+\alpha )Z}{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha ={\frac {I_{2}}{I_{1}}}}$

デュアルミラー定理は、実際には、比例電流を生成する第 2 の電流源をメイン入力ソースおよびインピーダンス要素と並列に接続すると、そこを流れる電流、電圧、およびそれに応じて入力ソース側から見た回路インピーダンスが変化するという事実を表しています。方向に応じて、インピーダンス全体に電圧を生成するためにメイン電流源を補助または反対する補助電流源として機能します。実際の要素と第 2 の電流源の組み合わせは、動的に変更されたインピーダンスを持つ新しい仮想要素と考えることができます。 ${\displaystyle I_{2}=KI_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{1}}$

デュアルミラー定理は通常、浮遊インピーダンスを介して接地インピーダンスに電力を供給する 2 つの電圧源で構成される配置によって実装されます(図 3 を参照)。電圧源とそれに属するインピーダンスの組み合わせにより、メインと補助の 2 つの電流源が形成されます。メインミラー定理の場合と同様に、2 番目の電圧は通常、電圧増幅器によって生成されます。増幅器の種類 (反転、非反転、差動) とゲインに応じて、回路の入力インピーダンスは実質的に増加、無限、減少、ゼロ、または負になります。 ${\displaystyle Z}$

主なミラー定理として、デュアルバージョンは、回路解析プロセスを支援することに加えて、追加電流によるインピーダンスの変更に基づく回路の設計と理解のための強力なツールです。 一般的なアプリケーションは、負荷キャンセラーとしての負のインピーダンスを持ついくつかのエキゾチックな回路、^[6]容量中和器、^[7]ハウランド電流源とその派生的なデブー積分器です。^[8]最後の例（図1を参照）では、ハウランド電流源は、入力電圧源、正の抵抗器、負荷（インピーダンスとして機能するコンデンサ）、および負のインピーダンス変換器INIC（およびオペアンプ）で構成されています。 入力電圧源と抵抗器は、負荷に電流を流す不完全な電流源を構成します（ソースの図3を参照）。 INICは、負荷に「補助」電流を流す2番目の電流源として機能します。 その結果、負荷を流れる合計電流は一定になり、入力ソースから見た回路インピーダンスが増加します。 比較すると、負荷キャンセラー^{[ permanent dead link ‍ ]}では、INICは必要なすべての電流を負荷に流します。入力ソース側から見た回路インピーダンス（負荷インピーダンス）はほぼ無限大です。 ${\displaystyle V_{in}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R_{3}=R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I_{R}}$${\displaystyle I_{-R}}$

以下は、2 つのミラー定理に基づく回路ソリューション、現象、およびテクニックのリストです。

• ミラー効果
• 負帰還増幅器
• オペアンプの用途
• ブートストラップ

• ベザド・ラザヴィ著『マイクロエレクトロニクスの基礎』
• アデル・セドラとケネス・スミス著『マイクロエレクトロニクス回路』
• RF回路設計の基礎(Jeremy Everard著)

• ミラーの定理の再考
• ミラーの定理に関する新たな結果
• ミラーの定理の双対となるネットワーク定理
• 一般化されたミラー定理とその応用
• フィードバック分解定理 (FDT): ミラーの定理の進化
• フィードバックアンプの周波数応答と入力および出力インピーダンスに対するミラー効果の正確な計算（FDT を使用）