数学 において、フランスの 数学者 E. Midyにちなんで名付けられたミディの定理 [ 1 ] は、 p が素数であり、a / pが 偶数周期 の循環小数展開を持つ 分数 a / pの 小数展開 に関する記述である( OEIS の 数列 A028416 ) 。a / p の小数表現の周期が2 n である場合、
1 p = 0. 1 1 1 2 1 3 … 1 n 1 n + 1 … 1 2 n ¯ {\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}
すると、循環小数周期の後半の数字は、前半の対応する数字の9の補数になります。言い換えれば、
1 私 + 1 私 + n = 9 {\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9} 1 1 … 1 n + 1 n + 1 … 1 2 n = 10 n − 1. {\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}
例えば、
1 13 = 0. 076923 ¯ そして 076 + 923 = 999。 {\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ および }}076+923=999.} 1 17 = 0. 0588235294117647 ¯ そして 05882352 + 94117647 = 99999999。 {\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ および }}05882352+94117647=99999999.}
kが h の任意の約 数である場合( hは a / p ( p は素数)の小数展開の周期の桁数)、Midy の定理は次のように一般化できます。拡張された Midy の定理 [ 2 ] は、 a / p の小数展開の循環部分をk 桁の数に分割すると、それらの合計が 10 k − 1の倍数になることを示しています。
例えば、 1 19 = 0. 052631578947368421 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}} 052631 + 578947 + 368421 = 999999。 {\displaystyle 052631+578947+368421=999999.} 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 × 999。 {\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}
ミディの定理とその拡張は、十進展開の特別な性質に依存しないが、 10 k − 1をb k − 1 に置き換え、基数 b で加算を実行する限り、 任意 の基数b で同様に機能する。
例えば、8進数では
1 19 = 0. 032745 ¯ 8 032 8 + 745 8 = 777 8 03 8 + 27 8 + 45 8 = 77 8 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}
12進法 （10と11をそれぞれ逆数の2と3で表す）
1 19 = 0. 076 E 45 ¯ 12 076 12 + E 45 12 = E E E 12 07 12 + 6 E 12 + 45 12 = E E 12 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}
ミディの定理の簡潔な証明は群論 の結果を用いて与えることができる。しかし、初等代数 とモジュラー算術 を用いてミディの定理を証明することも可能である。
p を 素数とし、a / pを 0 から 1 の間の分数とする。b を基数 としたa / p の展開の周期をℓ とすると、
1 p = [ 0. 1 1 1 2 … 1 ℓ ¯ ] b ⇒ 1 p b ℓ = [ 1 1 1 2 … 1 ℓ 。 1 1 1 2 … 1 ℓ ¯ ] b ⇒ 1 p b ℓ = N + [ 0. 1 1 1 2 … 1 ℓ ¯ ] b = N + 1 p ⇒ 1 p = N b ℓ − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}
ここで、N は、基数b での展開が文字列a 1 a 2 ... a ℓ となる整数 です。
b ℓ − 1 は p の倍数であることに注意してください。なぜなら、 ( b ℓ − 1) a / p は整数だからです。また、b n − 1 は、 ℓ より小さいn の値に対してはp の倍数ではありません 。そうでなければ、基数bにおける a / p の繰り返し周期がℓ より小さくなってしまうからです。
ここで、 ℓ = hk と仮定します。すると、b ℓ − 1 は b k − 1の倍数になります。（これを確認するには、b k をx に置き換えます。すると、b ℓ x h x − 1 は x h − 1の因数になります。）b ℓ − 1 = m ( b k − 1 ) とすると、
1 p = N m （ b k − 1 ） 。 {\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}
しかし、b ℓ − 1 は p の倍数であり、b k − 1 はp の倍数ではない ( kは ℓ より小さいため)、p は素数であるため、m は p の倍数でなければならない。
1 m p = N b k − 1 {\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}
は整数です。言い換えれば、
N ≡ 0 （ モジュール b k − 1 ） 。 {\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}
ここで文字列a 1 a 2 ... a ℓ を 長さkの h 個の等しい部分に分割し、これらを基数b の整数N 0 ... N h − 1 とすると、
N h − 1 = [ 1 1 … 1 k ] b N h − 2 = [ 1 k + 1 … 1 2 k ] b ⋮ N 0 = [ 1 l − k + 1 … 1 l ] b {\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}
ミディの拡張定理を基数bで証明するには、 h 個の整数N i b k − 1の倍数であることを示さなければなりません。
b k は b k − 1を法として 1 と合同なので、 b k b k − 1を法として 1 と合同になります。したがって
N = ∑ 私 = 0 h − 1 N 私 b 私 k = ∑ 私 = 0 h − 1 N 私 （ b k ） 私 {\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}} ⇒ N ≡ ∑ 私 = 0 h − 1 N 私 （ モジュール b k − 1 ） {\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}} ⇒ ∑ 私 = 0 h − 1 N 私 ≡ 0 （ モジュール b k − 1 ） {\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}
これは、基底b におけるミディの拡張定理を証明するものである。
ミディの定理を証明するために、h = 2の特殊な場合を考えます。N 0 とN 1 はどちらも基数bで k 桁の文字列で表されるため、どちらも次の式を満たします。
0 ≤ N 私 ≤ b k − 1. {\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}
N 0 とN 1 は 両方とも 0 に等しくはならず (そうでなければa / p = 0 となる)、両方とも b k − 1に等しくはならず(そうでなければa / p = 1 となる)、したがって
0 < N 0 + N 1 < 2 （ b k − 1 ） {\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}
また、N 0 + N 1は b k − 1の倍数であるため、
N 0 + N 1 = b k − 1. {\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}
系 上記より、 1 m p {\displaystyle {\frac {am}{p}}}
したがってm ≡ 0 （ モジュール p ） {\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}
そして、k = ℓ 2 {\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}
b ℓ / 2 + 1 ≡ 0 （ モジュール p ） {\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
のためにk = ℓ 3 {\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}
b 2 ℓ / 3 + b ℓ / 3 + 1 ≡ 0 （ モジュール p ） {\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
等々。
注記 ↑ Leavitt, William G. (1967年6月). "循環小数に関する定理" . The American Mathematical Monthly . 74 (6). Mathematical Association of America: 669–673 . doi : 10.2307/2314251 . JSTOR 2314251 . MR 0211949 . ↑ Bassam Abdul-Baki、拡張ミディの定理 、2005 年。
参考文献 ラデマッハー、H. およびトプリッツ、O. 『数学の楽しみ：アマチュアのための数学からの抜粋』 プリンストン大学出版局、 158-160頁、1957年。MR 0081844 E. ミディ、「De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques」。フランス、ナント大学：1836年。 ロス、ケネス A. 「循環小数：時代に関する考察」数学雑誌 83（2010）、第1号、33-45頁。MR 2598778 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f183b3738b0d5070422b6632a98e2f33d5382006)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06910fa89468862b576eadce220d2c02e5da769e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bed6f2f7ab0430a0ed7cf6dcf904c1a347c3d3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777fd984ce87d9abc200676a63bc90566eae64e1)
