メートル法投影

数学において、計量射影とは、計量空間の各要素を、ある固定された部分空間内のその要素に最も近い点の集合に写像する関数である。 ^{[1] [2]}

正式には、X を距離計量dを持つ計量空間とし、M をXの固定された部分集合とします。このとき、 Mに関連付けられた計量射影p _Mは、 XからMへの次の集合値関数です。

${\displaystyle p_{M}(x)=\arg \min _{y\in M}d(x,y)}$

同様に:

${\displaystyle p_{M}(x)=\{y\in M:d(x,y)\leq d(x,y')\forall y'\in M\}=\{y\in M:d(x,y)=d(x,M)\}}$

集合内の要素は、最良近似要素とも呼ばれます。この用語は制約付き最適化から来ています。つまり、解がMのサブセットでなければならないという制約の下で、xにより近い要素を見つけたいのです。関数p _{M は}、最良近似演算子とも呼ばれます。^[要出典]${\displaystyle \arg \min _{y\in M}d(x,y)}$

一般に、p _{M は}集合値であり、任意のxに対して、 xへの最も近い距離が同じであるMの要素が多数存在する可能性がある。 p _{M が}単値である特別なケースでは、集合M はチェビシェフ集合と呼ばれる。例えば、 ( X、d ) がユークリッド空間(ユークリッド距離を持つR ⁿ ) である場合、集合Mがチェビシェフ集合であるための必要十分条件は、それが閉じていて凸である場合である。^[3]

M が空でないコンパクト集合である場合、計量射影p _{M は}上半連続であるが、下半連続ではない可能性がある。しかし、X がノルム空間で M が有限次元チェビシェフ集合である場合、p Mは連続である_。 [^{引用が必要]}

さらに、X がヒルベルト空間で M が閉じた凸空間である場合、p _{M は}リプシッツ定数 1 でリプシッツ連続 である。 ^[要出典]

計量投影は、関数解析における理論的な問題の調査と実用的な近似法の両方に使用されます。 ^[4]また、制約付き最適化にも使用されます。^[5]

• 凸集合への射影により距離は常に減少しますか?