マッカローによるコーシー分布のパラメータ化

確率論において、「標準」コーシー分布とは、確率密度関数（pdf）が次のようになる確率分布である。

${\displaystyle f(x)={1 \over \pi (1+x^{2})}}$

x が実数の場合。これは中央値が0 で、第 1 四分位数と第 3 四分位数がそれぞれ−1と +1 です。一般に、コーシー分布は、これと同じ位置尺度族に属する任意の確率分布です。したがって、 X が標準コーシー分布を持ち、μが任意の実数でσ  >  0 の場合、Y = μ  + σXは、中央値がμで、第 1 四分位数と第 3 四分位数がそれぞれμ − σとμ + σであるコーシー分布を持ちます。     

シカゴ大学の統計学教授であるピーター・マッカローによって導入されたマッカローのパラメータ化は、非標準化分布の2つのパラメータを使用して、単一の複素数値パラメータ、具体的には複素数θ = μ + iσ（iは虚数単位）を形成する。また、通常の尺度パラメータの範囲を拡張してσ < 0を含むようにする。      

パラメータは概念的には複素数で表されますが、密度は依然として実数直線上の密度です。特に、密度は実数値パラメータμとσを用いて次のように記述できます。μとσはそれぞれ正または負の値を取ることができます。

${\displaystyle f(x)={1 \over \pi \left\vert \sigma \right\vert \left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)}\,,}$

σ  = 0の場合、分布は縮退しているとみなされる。密度の別の形式は、複素パラメータθ = μ + iσを使用して次のよう に記述できる。    

${\displaystyle f(x)={\left\vert \Im {\theta }\right\vert \over \pi \left\vert x-\theta \right\vert ^{2}}\,,}$

どこ${\displaystyle \Im {\theta }=\sigma }$。

「実数値の確率変数しか関係しないのに、なぜ複素数を導入するのか？」という質問に対し、マッカローは次のように答えた。

この質問に対して、私は次のような興味深い結果を提示する以外に良い答えは出せない。

${\displaystyle Y^{*}={aY+b \over cY+d}\sim C\left({a\theta +b \over c\theta +d}\right)}$

すべての実数a、b、c、dに対して... パラメータ空間上の誘導変換は、パラメータ空間が複素平面であると仮定した場合にのみ、標本空間上の変換と同じ分数線形形式を持ちます。

言い換えれば、確率変数Y が複素パラメータθを持つコーシー分布に従う場合、上で定義された確率変数Y  ^{* はパラメータ (} aθ  + b )/( cθ + d )を持つコーシー分布に従う。   

マッカローはまた、「 θから始まるブラウン粒子の上半平面からの最初の出口点の分布は、パラメータθを持つ実数直線上のコーシー密度である」と述べている。さらに、マッカローは、複素数値パラメータ化によって、コーシー分布と「円形コーシー分布」との間に単純な関係を導き出すことができることを示している。

複素パラメータを使用することで、実線形分数変換（SL(2,R)の群作用）に対するf-ダイバージェンス（例えば、カルバック・ライブラーダイバージェンス、カイ二乗ダイバージェンスなど）の不変性を容易に証明し、単変量コーシー密度間のすべてのf-ダイバージェンスが対称であることを示すことができます。

• Peter McCullagh、「条件付き推論とコーシーモデル」^{[リンク削除]}、Biometrika 、第79巻（1992年）、247 ～ 259ページ。McCullaghのホームページからPDFを入手できます。

• Frank Nielsen および Kazuki Okamura、「コーシー分布間の f 発散について」、 IEEE Transactions on Information Theory、 第 69 巻 (2023)、3150–3171 ページ。arXiv 2101.12459。