周辺分布

2つの離散確率変数XとYの既知の同時分布が与えられた場合、いずれかの変数（例えばX）の周辺分布は、Yの値が考慮されない場合のXの確率分布です。これは、 Yのすべての値について同時確率分布を合計することで計算できます。当然ながら、その逆も成り立ちます。つまり、 Xの個々の値について合計することで、Yの周辺分布を得ることができます。

$${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j}),\quad {\text{and}}\quad p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}$$

周辺確率は常に期待値として表すことができる。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.}$$

直感的に言えば、 Xの周辺確率は、Yの特定の値が与えられたときのX の条件付き確率を調べ、その条件付き確率をYのすべての値の分布にわたって平均することによって計算されます。

これは期待値の定義から導かれる（無意識の統計学者の法則を適用した後）。 $${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

したがって、周辺化は、確率変数Yと別の確率変数X = g ( Y )の確率分布の変換規則を提供する。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}xg(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

2 つの連続確率変数XとYの同時分布が既知である場合、周辺確率密度関数は、同時確率密度fをYについて積分することによって得られ、逆もまた同様です。つまり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\\f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle x\in [a,b]}$、 そして${\displaystyle y\in [c,d]}$。

同時累積分布関数から周辺累積分布関数を求めるのは簡単です。次のことを思い出してください。

• 離散確率変数の場合、$${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$
• 連続確率変数の場合、$${\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}$$

XとYが[ a , b ]×[ c , d ]上の値を同時に取る場合、

$${\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)\quad {\text{および}}\quad F_{Y}(y)=F(b,y)}$$

dが∞の場合、これは極限になります${\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}$同様に${\displaystyle F_{Y}(y)}$。

周辺確率は、他の事象とは無関係に、単一の事象が発生する確率です。一方、条件付き確率は、別の特定の事象が既に発生したという条件の下で、ある事象が発生する確率です。これは、ある変数の計算が別の変数に依存することを意味します。^{[ 2 ]}

ある変数が別の変数を与えられたときの条件付き分布は、両方の変数の同時分布を、もう一方の変数の周辺分布で割ったものです。^{[ 3 ]}つまり、

• 離散確率変数の場合、$${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}$$
• 連続確率変数の場合、$${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$$

200 人の生徒がいる教室で、学習時間 ( X ) と正答率 ( Y ) に関するデータがあるとします。^{[ 4 ]} XとY が離散確率変数であると仮定すると、 XとYの同時分布は、表 3 に示すように、 p ( x _i、y _j )のすべての可能な値を列挙することによって記述できます。

周辺分布を用いることで、20点以下の点数を取った生徒の数を判断できます。${\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}$つまり、10人の生徒、または5％のことです。

条件付き分布を用いることで、60分以上勉強した学生が20点以下の点数を取る確率を求めることができる。${\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}$つまり、少なくとも60分間勉強したとしても、20点以下しか取れない確率は約11％ということだ。