リューロートの定理

数学において、リューロートの定理は、体Kと有理関数体K ( X ) の間にあるすべての体は、 K ( X )の単一の要素によるKの拡大として生成されなければならないと主張する。この結果は、1876 年にこれを証明したヤコブ・リューロートにちなんで名付けられている。 ^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle K}$分野であり、${\displaystyle M}$中間のフィールドである${\displaystyle K}$そして${\displaystyle K(X)}$ある不定元Xに対して、有理関数が存在する。${\displaystyle f(X)\in K(X)}$そのため${\displaystyle M=K(f(X))}$言い換えれば、中間拡張はすべて${\displaystyle K}$そして${\displaystyle K(X)}$これは単純な拡張機能です。

リューロートの定理の証明は、幾何学的種数を用いて有理曲線の理論から容易に導出できる。^{[ 2 ]} この方法は初等的ではないが、体論の基礎のみを用いたいくつかの短い証明が古くから知られており、主に超越次数の概念を用いている。^{[ 3 ]} これらの簡単な証明の多くは、原始多項式に関するガウスの補題を主要なステップとして用いている。^{[ 4 ]}

• 原始元定理― 特定の体拡大が単純であることを主張する別の定理