リャプノフ・シュミット還元

数学において、リャプノフ・シュミット還元またはリャプノフ・シュミット構成は、陰関数定理が成り立たない場合の非線形方程式の解を研究するために使用されます。これにより、バナッハ空間の無限次元方程式を有限次元方程式に還元できます。アレクサンドル・リャプノフとエアハルト・シュミットにちなんで名付けられました。

させて

${\displaystyle f(x,\lambda )=0\,}$

は与えられた非線形方程式であり、 はバナッハ空間（はパラメータ空間）である 。は、ある点の近傍からへの写像であり 、 方程式はこの点で満たされる。 ${\displaystyle X,\Lambda ,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle f(x,\lambda )}$${\displaystyle C^{p}}$${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})\in X\times \Lambda }$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f(x_{0},\lambda _{0})=0.}$

線形演算子が可逆である場合、暗黙関数定理により、少なくとも局所的に に近い方程式を満たす解が存在することが保証されます。 ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$${\displaystyle x(\lambda )}$${\displaystyle f(x(\lambda ),\lambda )=0}$${\displaystyle \lambda_{0}}$

反対の場合、つまり線形演算子が逆でない場合には、次のようにして Lyapunov-Schmidt 還元を適用できます。 ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$

演算子は フレドホルム演算子であると仮定します。 ${\displaystyle f_{x}(x,\lambda )}$

${\displaystyle \ker f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=X_{1}}$有限次元を持ちます。 ${\displaystyle X_{1}}$

この演算子の値域は有限の共次元を持ち、 内の閉じた部分空間です。 ${\displaystyle \mathrm {ran} f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=Y_{1}}$${\displaystyle Y}$

一般性を失うことなく、次のように仮定できる。${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})=(0,0).}$

を直積 に分解してみましょう 。ここで です 。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y=Y_{1}\oplus Y_{2}}$${\displaystyle \dim Y_{2}<\infty }$

を への 射影演算子とします 。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Y_{1}}$

直積も考慮します。 ${\displaystyle X=X_{1}\oplus X_{2}}$

演算子とを元の方程式に適用すると、同等のシステムが得られる。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle IQ}$

${\displaystyle Qf(x,\lambda )=0\,}$

${\displaystyle (IQ)f(x,\lambda )=0\,}$

とすると、最初の方程式 ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$${\displaystyle x_{2}\in X_{2}}$

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2},\lambda )=0\,}$

は、暗黙関数定理を演算子に適用すること で解くことができる。${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2},\lambda ):\quad X_{2}\times (X_{1}\times \Lambda )\to Y_{1}\,}$

（これで暗黙関数定理の条件が満たされます）。

したがって、以下を満たす 唯一の解が存在する。${\displaystyle x_{2}(x_{1},\lambda )}$

${\displaystyle Qf(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,}$

2番目の式に代入すると、最終的な有限次元方程式が得られる。 ${\displaystyle x_{2}(x_{1},\lambda )}$

${\displaystyle (IQ)f(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,}$

実際、 の値域は有限次元なので、最後の方程式は有限次元です。この方程式は、有限次元の とパラメータについて解く必要があります。${\displaystyle (I-Q)}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle \lambda }$

リャプノフ・シュミット縮約は、経済学、自然科学、工学の分野で分岐理論、摂動理論、正則化と組み合わせて使用​​されてきた。^{[1] [2] [3]リャプノフ・シュミット縮約は、}化学工学において偏微分方程式モデルを厳密に正則化するためによく使用され、数値シミュレーションが容易でありながら元のモデルのすべてのパラメータを保持するモデルが得られる。 ^{[3] [4] [5]}

• ルイス・ニーレンバーグ、「非線形関数解析のトピック」、ニューヨーク大学講義ノート、1974年。
• アレクサンドル・リャプノフ、回転運動の均質性と回転楕円体の異なる楕円体上の数字、ザップ。アカド。ナウク サンクトペテルブルク (1906)、1–225。
• アレクサンドル・リャプノフ、安定性に関する一般的な問題、アン。ファック。科学。トゥールーズ 2 (1907)、203–474。
• エアハルト シュミット、線形と線形の理論、Integralgleichungen、3 Teil、数学。アンナレン 65 (1908)、370–399。