ダンフォード・シュワルツの定理

数学、特に関数解析において、ネルソン・ダンフォードと^{ジェイコブ}・T・シュワルツにちなんで名付けられたダンフォード・シュワルツの定理は、 L1上の特定のノルム有界作用素のべき乗の平均が適切な意味で収束することを述べています。^[1]

${\displaystyle {\text{Let }}T{\text{ be a linear operator from }}L^{1}{\text{ to }}L^{1}{\text{ with }}\|T\|_{1}\leq 1{\text{ and }}\|T\|_{\infty }\leq 1{\text{. Then}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f}$

${\displaystyle {\text{exists almost everywhere for all }}f\in L^{1}{\text{.}}}$

有界条件が に緩和されると、この文はもはや真ではなくなる。^[2]${\displaystyle \|T\|_{\infty }\leq 1+\varepsilon }$