線形-非線形-ポアソンカスケードモデル

線形非線形ポアソン（LNP）カスケードモデルは、神経スパイク応答の簡略化された機能モデルです。^{[1] [2] [3]}これは、特に視覚系などの初期の感覚経路におけるニューロンの応答特性を説明するために効果的に使用されてきました。LNPモデルは、逆相関またはスパイクトリガー平均を使用してホワイトノイズ刺激による神経応答を特徴付けるときに、一般的に暗黙的です。

LNP カスケード モデルには 3 つのステージがあります。最初のステージは線形フィルター、または線形受容野で構成され、これはニューロンが刺激の強度を空間と時間にわたって統合する方法を表します。次に、このフィルターの出力は非線形関数を通過し、ニューロンの瞬間スパイク レートが出力として与えられます。最後に、スパイク レートは、不均一なポアソン過程に従ってスパイクを生成するために使用されます。

線形フィルタリング ステージは次元削減を実行し、高次元の時空間刺激空間を低次元の特徴空間に削減します。この空間内でニューロンは応答を計算します。非線形性により、フィルタ出力が (非負の) スパイク レートに変換され、スパイクしきい値 (または整流) や応答飽和などの非線形現象が考慮されます。ポアソン スパイク ジェネレーターは、スパイクの確率は瞬間的なスパイク レートのみに依存するという仮定の下、連続スパイク レートを一連のスパイク時間に変換します。

このモデルは神経活動の有用な近似値を提供し、科学者が数学的に単純な式から信頼できる推定値を導き出すことを可能にします。

は特定の瞬間の空間時間刺激ベクトルを表し、 は 線形フィルタ（ニューロンの線形受容野）を表します。これは と同じ数の要素を持つベクトルです。は非線形性を表します。これは非負の出力を持つスカラー関数です。すると、LNPモデルは、小さな時間ビンの限界において、 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}$。

有限サイズの時間ビンの場合、これは単一のビンで yスパイクを観測する確率として正確に表すことができます。

${\displaystyle P(y{\textrm {~spikes}})={\frac {\left(\Delta \lambda \right)^{y}}{y!}}e^{-\Delta \lambda }}$

ここで、 、 はビンのサイズです。${\displaystyle \lambda =f(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}$${\displaystyle \Delta }$

刺激空間の複数の次元に敏感なニューロンの場合、LNPモデルの線形段階は線形フィルタのバンクに一般化でき、非線形性は複数の入力の関数になります。ニューロンの刺激依存性を捉える線形フィルタのセットを とします。すると、マルチフィルタLNPモデルは次のように記述されます。 ${\displaystyle \mathbf {k_{1}} ,\mathbf {k_{2}} ,\ldots ,\mathbf {k_{n}} }$

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(\mathbf {k_{1}} \!\cdot \!\mathbf {x} ,\;\mathbf {k_{2}} \!\ cdot \!\mathbf {x} ,\;\ldots ,\;\mathbf {k_{n}} \!\cdot \!\mathbf {x} )}$

または

${\displaystyle P({\textrm {spike}})\propto f(K\mathbf {x} ),}$

ここで、 は列がフィルタである行列です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {k_{i}} }$

LNP モデルのパラメータは、線形フィルタと非線形性から構成されます。推定問題 (神経特性評価問題とも呼ばれる) は、時間変化する刺激と観測されたスパイク時間のセットから構成されるデータからこれらのパラメータを決定する問題です。LNP モデル パラメータを推定する手法には、次のものがあります。 ${\displaystyle \{{k_{i}}\}}$${\displaystyle f}$

• スパイクトリガー平均やスパイクトリガー共分散などのモーメントベースの手法^{[1] [2] [3] [4]}
• 情報最大化法や最大尤度法を用いる。^{[5] [6]}

• LNP モデルは、積分発火モデルやホジキン・ハクスリー・モデルなどの生物物理学的に詳細な単一ニューロン モデルに対して、簡略化された数学的に扱いやすい近似を提供します。
• 非線形性が固定された可逆関数である場合、LNP モデルは一般化線形モデルです。この場合、は逆リンク関数です。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• ニューロンの特性評価におけるLNPモデルの代替として、古典的な非線形システム識別理論で登場したボルテラカーネルまたはウィーナーカーネル級数展開がある。 ^{[7]これらのモデルは、}テイラー級数 に類似した多項式展開を使用してニューロンの入出力特性を近似するが、スパイク生成プロセスを明示的に指定しない。

• ランダムニューラルネットワーク
• スパイクトリガー平均
• スパイク誘発共分散