ルモワンヌの問題

幾何学において、ルモワーヌの問題は、1868年にフランスの数学者エミール・ルモワーヌによって提起された定規とコンパスによる作図問題である。^{[1] [2]}

三角形の辺に配置された正三角形のそれぞれの頂点を1 つずつ指定して、元の三角形を構築します。

この問題はNouvelles Annales de Mathématiques（シリーズ2、巻7（1868）、p 191）の質問864として発表されました。この問題の主な関心事は、 Nouvelles Annales de Mathématiques （シリーズ2、巻8（1869）、pp 40-42）に掲載されたルートヴィヒ・キーペルトによる問題の解決に関する議論に、現在キーペルト双曲線として知られる双曲線の記述が含まれていたことです。^[3]

キーパートはいくつかの補題を証明することによって彼の構成の妥当性を証明した。^{[3] [4]}

問題

A ₁、B ₁、C _{1 を}三角形の辺に配置された正三角形の頂点とします。A 1 _、 B 1 _、 C 1_が与えられている場合、 A、 B、 C を作成します。 ${\displaystyle \triangle ABC.}$

補題1

任意の三角形${\displaystyle \triangle ABC,}$の 3 辺に正三角形を描く場合、線分は等しく、点${\displaystyle \triangle ABC_{1},}$ Pに集まり、線分が互いに作る角度は 60° に等しくなります。${\displaystyle \triangle ACB_{1},}$ ${\displaystyle \triangle BCA_{1},}$${\displaystyle {\overline {AA_{1}}},}$ ${\displaystyle {\overline {BB_{1}}},}$ ${\displaystyle {\overline {CC_{1}}}}$

補題2

⁠ ⁠${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$上で⁠ ⁠${\displaystyle \triangle ABC,}$と同じ作図を行うと、 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠３つの正三角形⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{2},}$ ⁠３つの等しい線分⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠が得られ、これらも点Pで一致することになります。${\displaystyle \triangle A_{1}C_{1}B_{2},}$ ${\displaystyle \triangle B_{1}C_{1}A_{2},}$${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}},}$

補題3

A、B、Cはそれぞれ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠の中点です。${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$ ${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}}.}$

解決

• 正三角形を線分⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {A_{1}B_{1}}},}$ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {A_{1}C_{1}}},}$ 上${\displaystyle {\overline {B_{1}C_{1}}}}$にそれぞれ記述します。${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},}$ ${\displaystyle \triangle A_{1}C_{2}B_{2},}$ ${\displaystyle \triangle B_{1}C_{1}A_{2},}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {B_{2}B_{2}}},}$ ⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {C_{2}C_{2}}}}$の中点は、それぞれ、必要な三角形の頂点A、B、Cです。

1868年から1869年にかけて、キーパート以外にも、ウィリエール氏（アルロン校）、ブロカール氏、クラヴェリー氏（クレルモン校）、ジョッフル氏（シャルルマーニュ校）、ラシーヌ氏（ポワティエ校）、オージェ氏（カーン校）、V.ニエビロウスキー氏、L.アンリ・ロレズ氏など数名が解答を提出した。キーパートの解答は他の解答よりも完成度が高かった。^[3]