ルジャンドル定数

ルジャンドル定数は、素数関数の挙動を近似するためにアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって構築された式に現れる数学定数である。その漸近挙動に正確に対応する値は現在 1 であることがわかっている。 ${\displaystyle \pi (x)}$

既知の値に関する利用可能な数値データの調査により、ルジャンドルは近似式を導き出しました。 ${\displaystyle \pi (x)}$

ルジャンドルは1808年に、 の近似値を「非常に満足のいく精度」で与える式（OEIS :A228211）を提案した。 ^{[1] [2]}$${\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},}$$${\displaystyle y=\pi (x)}$

今日では、この限界が存在するという前提 で 、 を解く 実定数を定義します。${\displaystyle B}$$${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},}$$$${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}$$

限界が存在することが分かっているだけでなく、その値は1に等しく、ルジャンドルの限界値よりもいくらか小さいことも分かっている。1.08366。正確な値に関係なく、極限の存在は素数定理を意味します。 ${\displaystyle B}$

パフヌティ・チェビシェフは1849年に^[3]、極限Bが存在する場合、それは1に等しくなければならないことを証明した。より簡単な証明は1980年にピンツによって与えられた。^[4]

これは、誤差項の明示的な推定を伴う正確な形式での 素数定理の直接的な帰結である。

$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

（ある正の定数aに対して、O (…)は大きなO表記法）1899年にシャルル・ド・ラ・ヴァレ・プッサン^[5]によって証明されたように、Bは確かに1に等しい。（素数定理は1896年にジャック・アダマール^[6]とラ・ヴァレ・プッサン^[7]によって独立に証明されていたが、関係する誤差項の推定値は一切なかった）。

このように単純な数値に評価されたため、ルジャンドル定数という用語は主に歴史的な価値しか持たず、代わりにルジャンドルの最初の推測値 1.08366... を指すために (技術的には誤って) 使用されることがよくあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「ルジャンドルの定数」。マスワールド。