ルベーグの普遍被覆問題

ルベーグの普遍被覆問題は、直径 1 のすべての平面集合を覆うことができる最小面積の凸形状を求める、幾何学における未解決の問題です。集合の直径は、定義により、集合内のすべての点のペア間の距離の最小上限です。図形が集合を覆うのは、合同な部分集合が含まれている場合です。言い換えると、集合は図形内に収まるように回転、平行移動、または反転できます。

この問題は、1914年にアンリ・ルベーグがギュラ・パルに宛てた手紙の中で提起された。1920年にパルの論文で、パルの解析とともに発表された。^[1]彼は、一定幅1のすべての曲線の被覆は、直径1のすべての集合の被覆でもあること、また、直径1の内接円を持つ正六角形から2つの角を取り除くことで、面積1の被覆を構成できることを示した。$${\displaystyle 2-{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 0.84529946.}$$

1936年、ローランド・スプレイグは、パルの被覆の一部を他の角の近くから取り除いても被覆としての性質は保持されることを示した。^[2]これにより、面積の上限が に減少した。 ${\displaystyle a\leq 0.844137708436}$

スプラーグの解法に一連の改良が加えられ、それぞれが解法から小さな角を削除した後、^{[3] [4]} フィリップ・ギブスの2018年のプレプリントは、面積が0.8440935944までさらに縮小された、知られている中で最も優れた上限を主張しました。^{[5] [6]}

面積の最もよく知られている下限値は、ピーター・ブラスとメアボッド・シャリフィが3つの形状を最適に整列させた組み合わせを使用して提示したもので、最適被覆の面積は少なくとも0.832であることを証明した。^[7]

• モーザーのワーム問題、すべての単位長さの曲線を覆うことができる図形の最小面積はいくらですか?
• 動くソファ問題、L字型の廊下を回転および移動できる最大面積の形状を見つける問題
• カケヤ集合、単位長さの線分すべてを収容できる最小面積の集合（平行移動は許可されるが、回転は許可されない）
• ブラシュケ選択定理は、ルベーグの普遍被覆問題に解があることを証明するために使用できます。