ラングの定理

代数幾何学において、セルジュ・ラングによって導入されたラングの定理は、次のように述べている。Gが有限体上の連結な滑らかな代数群である場合、${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$そして、${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$フロベニウスの場合、多様体の射

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

は全射です。このマップの核（つまり、${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$) はまさに${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$。

この定理は、${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$  消滅し、^{[ 1 ]} 、結果として、上の任意のGバンドルは${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$これは自明なものと同型である。また、この定理はリー型有限群の理論において基本的な役割を果たしている。

Gがアフィンである必要はない。したがって、この定理はアーベル多様体（例えば、楕円曲線）にも適用される。実際、この応用がラングの最初の動機であった。Gがアフィンであれば、フロベニウスの定理は${\displaystyle \sigma }$有限個の不動点を持つ任意の全射写像に置き換えることができる（正確な記述については下記を参照）。

証明（以下に示す）は実際にはどの${\displaystyle \sigma }$これは、Gのリー代数上に冪零作用素を誘導する。^{[ 2 ]}

スタインバーグ（1968 ）は、その定理に有用な改良を加えた。 

F が代数群Gの自己準同型であると仮定します。ラング写像は、 g をg ⁻¹ F ( g )に写すGからGへの写像です。

ラング・スタインバーグの定理^{[ 3 ]}は、 Fが全射であり、有限個の不動点を持ち、Gが代数的に閉じた体上の連結アフィン代数群である場合、ラング写像は全射であると述べている。

定義する：

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

次に、点aにおける接空間を単位元における接空間と同一視することにより、次の式が得られます。

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

どこ${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$続いて${\displaystyle (df_{a})_{e}}$フロベニウスの微分は全単射である${\displaystyle \sigma }$消える。${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$また、${\displaystyle (df_{a})_{b}}$は任意のbに対して全単射である。^{[ 4 ]} Xを の像の閉包とする。${\displaystyle f_{1}}$Xの滑らかな点は、開いた稠密な部分集合を形成する。したがって、 Gには次のようなbが存在する。${\displaystyle f_{1}(b)}$はXの滑らかな点です。におけるXの接空間は${\displaystyle f_{1}(b)}$また、 bにおけるGの接空間は同じ次元を持つので、G は滑らかであるため、 XとG は同じ次元を持つことがわかります。Gは連結であるため、${\displaystyle f_{1}}$すると、 Gの稠密な開部分集合Uが含まれる。ここで、 Gの任意の要素aが与えられたとき、同じ推論により、${\displaystyle f_{a}}$Gの開稠密部分集合Vを含む。${\displaystyle U\cap V}$は空でないが、これはが の像であることを意味する${\displaystyle f_{1}}$。

• Springer, TA (1998).線形代数群（第2 版）. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5OCLC 38179868​​ 
• Lang, Serge (1956)、「有限体上の代数群」、American Journal of Mathematics、78 : 555–563、doi : 10.2307/2372673、ISSN 0002-9327、JSTOR 2372673、MR 0086367   
• スタインバーグ、ロバート（1968）「線形代数群の自己準同型」、アメリカ数学会紀要、第80号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、MR 0230728