レヴィの連続性定理JJapedia 編集部|更新日: 2026年8月2日確率論において、フランスの数学者ポール・レヴィにちなんで名付けられたレヴィの連続性定理、またはレヴィの収束定理[ 1 ]は、確率変数列の分布の収束と、それらの特性関数の点ごとの収束を結びつけるものです。この定理は、中心極限定理を証明する一つの方法の基礎であり、特性関数に関する主要な定理の一つです。声明仮にランダム変数のシーケンス{Xn}n=1∞{\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}必ずしも共通の確率空間を共有しているわけではないが、対応する特性関数のシーケンス{φn}n=1∞{\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}定義上、 φn（t）=E[e私tXn]∀t∈R、 ∀n∈N、{\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,} どこE{\displaystyle \operatorname {E} }は期待値演算子です。特性関数の列が点ごとに何らかの関数に収束する場合φ{\displaystyle \varphi }φn（t）→φ（t）∀t∈R、{\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}すると、以下の記述は同等になります。Xn{\displaystyle X_{n}}分布においてある確率変数Xに収束するXn →D X、{\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,} すなわち、確率変数に対応する累積分布関数は、Xの累積分布関数のすべての連続点で収束する。 {Xn}n=1∞{\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}きつい： リムx→∞（すするnP[|Xn|>x]）=0;{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}φ（t）{\displaystyle \varphi (t)}は、ある確率変数Xの特性関数である。φ（t）{\displaystyle \varphi (t)}はtの連続関数である。φ（t）{\displaystyle \varphi (t)}t = 0において連続である。 証拠この定理の厳密な証明は入手可能である。[ 1 ] [ 2 ]参考文献1 2ウィリアムズ、D. (1991).マルチンゲールを用いた確率論. ケンブリッジ大学出版局. セクション 18.1. ISBN 0-521-40605-6。↑ Fristedt, BE; Gray, LF (1996).確率論への現代的アプローチ. ボストン: Birkhäuser. 定理 14.15 および 18.21. ISBN 0-8176-3807-5。カテゴリー：確率論における定理統計学の定理ポール・レヴィ（数学者）非表示のカテゴリ:短い説明付きの記事短い説明はWikidataと一致します関連するトピック関連確率論関連数学者関連ポール・レヴィ関連分布の収束
![{\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e646422def90294930aa1b3d36993b95ac6feb90)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb3d0164de063920dddcd640451c9398e3ba185)
