クラトフスキーの自由集合定理

カジミエシュ・クラトフスキにちなんで名付けられたクラトフスキの自由集合定理は、数学の一分野である集合論の結果である。この定理は、ほぼ 50 年間ほとんど忘れ去られていたが、最近では合同格子問題などのいくつかの格子理論の問題を解くのに応用されている。

集合 のすべての有限部分集合の集合をで表します。同様に、正の整数に対して、のすべての-元部分集合の集合を で表します。写像に対して、 の任意の -元部分集合および任意の に対してが成り立つとき、の部分集合がに関して自由であるといえます。Kuratowskiは1951 年に、形式 の無限基数を特徴付ける次の結果を発表しました。 ${\displaystyle [X]^{<\omega }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle [X]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi \colon [X]^{n}\to [X]^{<\omega }}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u\in U\setminus V}$${\displaystyle u\notin \Phi (V)}$ ${\displaystyle \aleph_{n}}$

定理は次のように述べます。を正の整数とし、 を集合とします。の濃度が 以上となるのは、から へのすべての写像に対して、に関して の-要素自由部分集合が存在する場合のみです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \aleph_{n}}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle [X]^{n}}$${\displaystyle [X]^{<\omega }}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi}$

については、クラトフスキーの自由集合定理は、ハジュナルの集合写像定理に置き換えられます。 ${\displaystyle n=1}$