カントロヴィッツ限界

気体力学において、カントロヴィッツ限界とは、超音速またはそれに近い速度でのチョーク流れを記述する理論的概念を指します。 ^{[ 1 ]}最初は亜音速の流体の流れが断面積の減少を経験すると、連続の式に従って、同じ質量流量を維持するために流れは加速します。それに近い流れが面積の収縮を経験すると、流れの速度は局所的な音速に達するまで減少し、流れはチョーク状態になります。これがカントロヴィッツ限界の背後にある原理です。これは、流れがチョークする前に流れが経験できる最大の収縮量であり、上流または下流の圧力の変化に関係なく、流れの速度はこの限界を超えて増加することはできません。

流体が断面0で内部収縮ノズルに入り、断面4のより小さな断面積の喉部を通過すると仮定します。通常の衝撃波はノズル収縮の開始点で発生すると仮定し、ノズル内のこの点を断面2と呼びます。ノズル内の質量保存則により、各断面における質量流量は等しくなければなりません。

${\displaystyle {\dot {m}}_{0}={\dot {m}}_{2}={\dot {m}}_{4}}$

理想的な圧縮性ガスの場合、各断面における質量流量は次のように表すことができます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\dot {m}}_{0}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t0}A_{0}}{\sqrt {T_{t0}}}}}$

${\displaystyle {\dot {m}}_{4}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t4}A_{4}}{\sqrt {T_{t4}}}}}$

どこ${\textstyle A}$は指定された点における断面積です。${\textstyle \gamma }$は気体の等エントロピー膨張係数であり、${\textstyle M}$は、指定された断面における流れのマッハ数です。${\textstyle R}$は理想気体定数です。${\textstyle p_{t}}$は停滞圧力であり、${\textstyle T_{t}}$は停滞温度です。

入口とスロートでの質量流量を等しく設定し、全温度、比熱比、および気体定数が一定であることを考慮すると、質量保存則は次のように簡略化されます。

${\displaystyle M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t0}A_{0}=M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t4}A_{4}}$

A ₄ /A ₀を解くと、

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}={\frac {M_{0}}{M_{4}}}{\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}}$

3 つの仮定がなされます。入口の通常の衝撃波の後ろからの流れは等エントロピー、つまりp _t4 = p _t2であり、スロート (点 4) での流れは音速であり、 M ₄ = 1 であり、さまざまな点間の圧力は通常の衝撃波の関係によって関連付けられ、入口とスロートの圧力の間に次の関係がもたらされます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}=\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\​​frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\​​frac {-1}{\gamma -1}}}$

また、 M ₄ = 1なので、スロートでの衝撃波の関係は次のように単純化されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}=\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}}$

代わりに${\textstyle M_{4}}$そして${\textstyle {\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}}$面積比の式では、

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{\frac {\gamma +1}{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\​​frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\​​frac {-1}{\gamma -1}}}$

これは次のように書くこともできます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {\gamma +1}{2+(\gamma -1)M_{0}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\​​frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\​​frac {-1}{\gamma -1}}}$

カントロヴィッツ限界は、ジェットエンジンやロケットなど、高亜音速および超音速で動作する気体流入流の力学において多くの応用例があり、ハイパーループのような高速輸送システムにも適用されている。

• アーサー・カントロウィッツ