アイバーソンブラケット

数学において、アイバーソン括弧は、ケネス・E・アイバーソンにちなんで名付けられた、クロネッカーのデルタ（ステートメントx = yのアイバーソン括弧）を一般化した表記法です。これは、任意のステートメントをそのステートメント内の自由変数の関数にマッピングします。この関数は、ステートメントが真となる変数の値に対して値 1 を取り、それ以外の場合は値 0 を取るように定義されます。これは通常、ステートメントを角括弧で囲むことで示されます。 言い換えると、ステートメントのアイバーソン括弧は、ステートメントが真となる値の集合の指示 関数です。$${\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{P{\text{が真の場合}\\0&{\text{それ以外の場合}\end{cases}}}$$

アイバーソン括弧により、総和指数に制限なく大文字シグマ表記を使用することができます。つまり、整数 の任意の特性について、制限された和を制限のない形式 に書き直すことができます。この規則により、アイバーソン括弧が0 に等しいkの値に対して を定義する必要はありません。つまり、が定義されているかどうかに関係なく、加数は 0 に評価される必要があります。 ${\displaystyle P(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sum _{k:P(k)}f(k)}$${\displaystyle \sum _{k}f(k)\cdot [P(k)]}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle f(k)[{\textbf {false}}]}$${\displaystyle f(k)}$

この表記法はもともとケネス・E・アイバーソンがプログラミング言語APLで導入したもので、^{[1] [2]}括弧で囲まれた単一の関係演算子に制限されていましたが、任意のステートメントへの一般化、角括弧への表記法の制限、および合計への応用は、括弧で囲まれた論理式の曖昧さを避けるためにドナルド・クヌースによって提唱されました。 ^[3]

アイバーソン括弧上の算術、論理、集合演算の間には直接的な対応関係がある。例えば、AとBを集合と整数の任意の性質とすると、 ${\displaystyle P(k_{1},\dots )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][\,P\land Q\,]~&=~[\,P\,]\,[\,Q\,]~~;\\[1em][\,P\lor Q\,]~&=~[\,P\,]\;+\;[\,Q\,]\;-\;[\,P\,]\,[\,Q\,]~~;\\[1em][\,\neg \,P\,]~&=~1-[\,P\,]~~;\\[1em][\,P{\scriptstyle {\mathsf {\text{ XOR }}}}Q\,]~&=~{\Bigl |}\,[\,P\,]\;-\;[\,Q\,]\,{\Bigr |}~~;\\[1em][\,k\in A\,]\;+\;[\,k\in B\,]~&=~[\,k\in A\cup B\,]\;+\;[\,k\in A\cap B\,]~~;\\[1em][\,x\in A\cap B\,]~&=~[\,x\in A\,]\,[\,x\in B\,]~~;\\[1em][\,\forall \,m\ :\,P(k,m)\,]~&=~\prod _{m}\,[\,P(k,m)\,]~~;\\[1em][\,\exists \,m\ :\,P(k,m)\,]~&=~\min {\Bigl \{}\;1\,,\,\sum _{m}\,[\,P(k,m)\,]\;{\Bigr \}}=1\;-\;\prod _{m}\,[\,\neg \,P(k,m)\,]~~;\\[1em]\#{\Bigl \{}\;m\,{\Big |}\,P(k,m)\;{\Bigr \}}~&=~\sum _{m}\,[\,P(k,m)\,]~~.\end{aligned}}}$$

この表記法では、合計 (または積分) の境界条件を別の要素として加数に移動できるため、合計演算子の周囲のスペースが解放されますが、さらに重要なのは、合計演算子を代数的に操作できることです。

アイバーソン括弧を使用して、よく知られている合計操作規則を機械的に導出します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,[k\in A]+\sum _{k}f(k)\,[k\in B]\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}}$$

よく知られている規則も同様に簡単に導き出されます。 ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]\\&=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{aligned}}}$$

例えば、nまでの正の整数のうちnと互いに素な整数の数を数えるオイラーのトーティエント関数は次のように表される。 $${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad {\text{for }}n\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

アイバーソン括弧のもう一つの用途は、特殊なケースの方程式を簡略化することです。例えば、次の式は $${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}$$

n > 1の場合に有効ですが、⁠1/2⁠ n = 1の場合。すべての正の整数n (つまり、が定義されているすべての値) に対して有効な恒等式を得るには、アイバーソン括弧を含む補正項を追加します。 ${\displaystyle \varphi (n)}$$${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n{\Big (}\varphi (n)+[n=1]{\Big )}}$$

多くの一般的な関数、特に自然な区分定義を持つ関数は、アイバーソン括弧で表現できます。クロネッカーデルタ表記は、条件が等式である場合のアイバーソン表記の特殊なケースです。つまり、 $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

集合 の指示関数は、 、または と表記され、集合の帰属関係を条件とするアイバーソン括弧です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)}$${\displaystyle \chi _{A}(x)}$$${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=[x\in A].}$$

ヘヴィサイドのステップ関数、符号関数、^[1]、絶対値関数もこの表記法で簡単に表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=[x\geq 0],\\\operatorname {sgn}(x)&=[x>0]-[x<0],\end{aligned}}}$$

そして $${\displaystyle {\begin{aligned}|x|&=x[x>0]-x[x<0]\\&=x([x>0]-[x<0])\\&=x\cdot \operatorname {sgn}(x).\end{aligned}}}$$

比較関数maxとmin（2つの引数のうち大きい方または小さい方を返す）は 次 のように記述できます。$${\displaystyle \max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y]}$$$${\displaystyle \min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y].}$$

床関数と天井関数は と として表すことができます。 ここで、合計のインデックスはすべての整数にわたると理解されます。 $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n}n\cdot [n\leq x<n+1]}$$$${\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot [n-1<x\leq n],}$$${\displaystyle n}$

ランプ関数は次のように表現できる。 $${\displaystyle R(x)=x\cdot [x\geq 0].}$$

実数の三分法は次の恒等式と同等 です。$${\displaystyle [a<b]+[a=b]+[a>b]=1.}$$

メビウス関数は次のような性質を持つ（そして再帰的に^[4]のように定義できる）。 $${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\ =\ [n=1].}$$

1830 年代に、グーリエルモ・ダラ・ソマヤは現在では と表記されるものを という表現で表しました。また、 については などの変形も使用しました。[ ^3]一般的な慣例 に従うと、 は定義されている場合は等しくなります。つまり、 x > 0の場合は 1 、 x = 0の場合は 0 、それ以外の場合は未定義です。 ${\displaystyle 0^{0^{x}}}$${\displaystyle [x>0]}$${\displaystyle \left(1-0^{0^{-x}}\right)\left(1-0^{0^{x-a}}\right)}$${\displaystyle [0\leq x\leq a]}$${\displaystyle 0^{0^{x}}}$

現在では標準となっている角括弧[ · ]と元々の丸括弧( · ) に加えて、黒板のような太字の括弧 (例: ⟦ · ⟧ )や、出版社の書体で使用可能なその他の珍しい形の括弧記号も使用され、欄外の注記が添えられています。

• ブール関数
• コンピュータプログラミングにおける型変換: 多くの言語では、数値またはポインタ量をブール量として使用できます。
• インジケーター機能