ホップフィールド誘電体

量子力学において、ホップフィールド誘電体は、量子電磁場のモードと相互作用する量子調和振動子からなる誘電体のモデルである。電荷分極モードと真空励起との集団相互作用により、光子は、ポラリトンの2つの分散線間の交差を回避することで、光子の 線形分散関係と電荷波の一定分散の両方に摂動をもたらす。^[1] 音響フォノンや光学フォノンに似ており、共鳴から遠いため、一方の枝は光子状で、もう一方の電荷は波状である。このモデルは、1958年にジョン・ホップフィールドによって開発された^。[1]

数学的には、1 つの励起モードに対するホップフィールド誘電体は、調和近似におけるトロイ波束と同等です。誘電体のホップフィールド モデルは、物質内部のホーキング放射に似た永久に閉じ込められた凍結光子の存在を予測し、その密度は物質と場の結合の強さに比例します。

量子電磁場と相互作用する調和振動子 からなる量子化ローレンツ誘電体のハミルトニアンは、双極子近似で次のように表すことができます。${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}{{p_{A}}^{2} \over 2m}+{{m{\omega }^{2}} \over 2}{x_{A}}^{2}-e{x_{A}}\cdot E(r_{A})+\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}ka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

どこ

${\displaystyle E(r_{A})={i \over L^{3}}\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}k[{{ck} \over {2\epsilon _{0}}}]^{1 \over 2}[e_{\lambda }(k)a_{\lambda }(k)\exp(ikr_{A})-HC]}$

は位置で作用する電場演算子です。 ${\displaystyle r_{A}}$

これを調和振動子の生成消滅演算子で表現すると、次のようになる。

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}(a_{A}^{+}\cdot a_{A})\hbar \omega -{e \over {{\sqrt {2}}\beta }}(a_{A}+{a_{A}}^{+})\cdot E(r_{A})+\sum _{\lambda }\sum _{k}a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

振動子が何らかの規則的な固体格子上にあると仮定し、ポラリトンフーリエ変換を適用する

${\displaystyle B_{k}^{+}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(ikr_{A})a_{A}^{+},}$

${\displaystyle B_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(-ikr_{A})a_{A}}$

振動子電荷波の電磁場分極方向への投影を定義する

${\displaystyle B_{\lambda k}^{+}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k}^{+}}$

${\displaystyle B_{\lambda k}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k},}$

電磁場と相互作用しない縦方向の寄与を除いた後、ホップフィールドハミルトニアンを得ることができる。

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}(B_{\lambda k}^{+}B_{\lambda k}+{1 \over 2})\hbar \omega +\hbar cka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}+{ie\hbar \over {\sqrt {\epsilon _{0}m\omega }}}{\sqrt {N \over V}}{\sqrt {ck}}[B_{\lambda k}a_{\lambda -k}+B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}-B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda -k}^{+}-B_{\lambda k}a_{\lambda k}^{+}]}$

相互作用は偏光を混合しないため、これは 2 つの偏光枝の固有振動数を持つ通常の形式に変換できます。

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}\left[\Omega _{+}(k)C_{\lambda +k}^{+}C_{\lambda +k}+\Omega _{-}(k)C_{\lambda -k}^{+}C_{\lambda -k}\right]+const}$

固有値方程式

${\displaystyle [C_{\lambda \pm k},H]=\Omega _{\pm }(k)C_{\lambda \pm k}}$

${\displaystyle C_{\lambda \pm k}=c_{1}a_{\lambda k}+c_{2}a_{\lambda -k}+c_{3}a_{\lambda k}^{+}+c_{4}a_{\lambda -k}^{+}+c_{5}B_{\lambda k}+c_{6}B_{\lambda -k}+c_{7}B_{\lambda k}^{+}+c_{8}B_{\lambda -k}^{+}}$

どこ

${\displaystyle \Omega _{-}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}-{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2},}$

${\displaystyle \Omega _{+}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}+{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2}}$、

と

${\displaystyle \Omega (k)=ck,}$

（真空光子分散）と

${\displaystyle g={{Ne^{2}} \over {Vm\epsilon _{0}\omega ^{2}}}}$

は、誘電体の密度に比例する無次元結合定数で、ローレンツ周波数（緊密結合電荷波分散）を持ちます。物質のない電磁場の真空とは異なり、ポラリトンハミルトニアンの基底状態では、ウンルー・デイヴィス効果により、ブラックホール近傍のホーキング放射と同様に、平均光子数の期待値はゼロではない ことに気付くでしょう。結合定数が で臨界状態になると、下側固有周波数が虚数になり、ホップフィールド誘電体が超放射相転移を起こすことが容易に分かります。 ${\displaystyle N/V}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \langle a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\rangle }$${\displaystyle C_{k\pm }|\mathbf {0} >=0}$${\displaystyle \Omega _{-}}$${\displaystyle g>1}$