ヒルの球状渦

ヒルの球状渦は、渦輪をモデル化するために一般的に使用されるオイラー方程式の厳密な解です。この解は、小さなレイノルズ数で別の流体中を一定速度で移動する1つの流体の球状滴内の速度分布をモデル化するためにも使用されます。^[1]この渦は、1894年に厳密な解を発見したミカイア・ジョン・ミュラー・ヒルにちなんで名付けられました。 ^[2]この渦の2次元類似物は、ラム・チャプリギン双極子です。

解は対応する速度成分とともに球面極座標系で記述される。速度成分はストークス流関数から次のように 識別される。${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },0)}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

${\displaystyle v_{r}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad v_{\theta }=-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.}$

ヒルの球状渦は^{[3]で説明される。}

${\displaystyle \psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{4}}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\geq a\end{cases}}}$

ここで、 は原点から遠く離れた一定の自由流速度であり、は渦度がゼロでない球の半径です。 の場合、渦度はゼロであり、その範囲で上で説明した解は、半径 の球を通り過ぎるポテンシャル流に他なりません。 の場合の唯一のゼロでない渦度成分は、次式で与えられる方位角成分です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r\geq a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r\leq a}$

${\displaystyle \omega _{\phi }=-{\frac {15U}{2a^{2}}}r\sin \theta .}$

ここで、パラメータと は無次元化によってスケールアウトできることに注意してください。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$

旋回運動を伴うヒルの球状渦は、1969年にキース・モファットによって提案されました。[4 ^]同様の問題に関する以前の議論は、1899年にウィリアム・ミッチンソン・ヒックスによって提案されました。^[5]この解は、1956年にケルビン・H・ペンダーガストによってもプラズマ物理学の文脈で発見されました。 ^[6]これらの流体の流れとプラズマ物理学の間には直接的な関係があるためです（ヒックス方程式とグラッド・シャフラノフ方程式の関係を参照）。軸（または子午線）面内の運動は、以前と同様にストークス流関数によって記述されます。方位角運動は次のように表されます 。${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{\phi })}$${\displaystyle \psi}$${\textstyle v_{\phi}}$

${\displaystyle v_{\phi }={\frac {\pm k\psi }{r\sin \theta }}}$

どこ

${\displaystyle \psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{2}}{\frac {J_{3/2}(ka)}{J_{5/2}(ka)}}\left[\left({\frac {a}{r}}\right)^{3/2}{\frac {J_{3/2}(kr)}{J_{3/2}(ka)}}-1\right]r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\geq a\end{cases}}}$

ここで、およびは第一種ベッセル関数である。旋回運動のないヒルの球状渦とは異なり、この問題には任意のパラメータが含まれる。形状変化のない3次元渦の伝播を記述するオイラー方程式の一般的な解のクラスは、1986年にキース・モファットによって提供された^。[7]${\displaystyle J_{3/2}}$${\displaystyle J_{5/2}}$${\displaystyle か}$