階層型一般化線形モデル

階層モデルでは、観測値はクラスターにグループ化され、観測値の分布は、すべてのクラスターに共通する構造だけでなく、その観測値が属するクラスター固有の構造によっても決定されます。そのため、クラスターごとに異なるランダム効果成分がモデルに導入されます。${\displaystyle y}$応答は、${\displaystyle u}$ランダム効果として、${\displaystyle g}$リンク関数とする。${\displaystyle \eta =X\beta }$、 そして${\displaystyle v=v(u)}$は、の厳密に単調な関数である。${\displaystyle u}$階層的一般化線形モデルでは、${\displaystyle y|u}$そして${\displaystyle u}$作成する必要がある: ^{[ 2 ]}${\displaystyle y\mid u\sim \ f(\theta ,\,\phi )}$そして${\displaystyle u\sim \ f_{u}(\alpha ).}$

線形予測子は次の形式です。

${\displaystyle g(E(y))=g(\mu )=\eta =X\beta +v\,}$

どこ${\displaystyle g}$リンク関数は、${\displaystyle \mu =E(y)}$、 ${\displaystyle \eta =X\beta +v}$、 そして${\displaystyle v=v(u)}$は、の単調関数である。${\displaystyle u}$この階層的一般化線形モデルでは、固定効果は次のように記述されます。${\displaystyle \beta }$これはすべての観測値で同じです。ランダム成分${\displaystyle u}$は観測されておらず、クラスター間でランダムに変動する。したがって${\displaystyle v}$同じクラスター内の観測値に対しては同じ値を取り、異なるクラスター内の観測値に対しては異なる値を取る。^{[ 3 ]}

識別可能性は統計学における概念である。パラメータ推論を行うためには、識別可能性の性質が成り立つことを確認する必要がある。^{[ 4 ]}上記のモデルでは、vの位置は識別不可能である。

${\displaystyle X\beta +v=(X\beta +a)+(va)\,}$

定数の場合${\displaystyle a}$[ ^{2 ]}モデルを識別可能にするためには、パラメータに制約を課す必要があります。制約は通常、次のようなランダム効果に課されます^。${\displaystyle E(v)=0}$[ ^{2 ]​}

異なる分布を仮定することで${\displaystyle y\mid u}$ そして${\displaystyle u}$、そしてさまざまな機能を使用する${\displaystyle g}$そして '${\displaystyle v}$これにより、さまざまなモデルを取得できます。さらに、一般化線形混合モデル（GLMM）は、階層的一般化線形モデルの特殊なケースです。階層的一般化線形モデルでは、ランダム効果の分布は${\displaystyle u}$必ずしも正規分布に従うとは限りません。${\displaystyle u}$は正常であり、リンク機能は${\displaystyle v}$が恒等関数である場合、階層型一般化線形モデルはGLMMと同じになります。^{[ 2 ]}

分布${\displaystyle y\mid u}$そして${\displaystyle u}$また、共役として選択することもできます。これは、優れた性質が成り立ち、計算と解釈が容易になるためです。^{[ 2 ]}例えば、分布が${\displaystyle y\mid u}$ある平均値を持つポアソン分布は、${\displaystyle u}$がガンマであり、正準対数リンク関数が使用される場合、そのモデルをポアソン共役階層型一般化線形モデルと呼びます。${\displaystyle y\mid u}$ある平均値を持つ二項分布に従う。${\displaystyle u}$共役ベータ分布を持ち、正準ロジットリンクが使用される場合、そのモデルをベータ共役モデルと呼びます。さらに、混合線形モデルは、正規共役階層一般化線形モデルです。^{[ 2 ]}

一般的に使用されているモデルの概要は次のとおりです。^{[ 5 ]}

例えば、この方法は半導体製造の分析に用いられました。相互に関連するプロセスが複雑な階層構造を形成しているためです。^{[ 6 ]}半導体製造は、相互に関連するさまざまなプロセスを必要とする複雑なプロセスです。^{[ 7 ]}クラスタ化されたデータを必要とする階層型一般化線形モデルは、複雑なプロセスを扱うことができます。エンジニアはこのモデルを使用して重要なサブプロセスを見つけて分析し、同時にこれらのサブプロセスが最終的なパフォーマンスに与える影響を評価できます。^{[ 6 ]}

市場調査の問題は、階層型一般化線形モデルを使用して分析することもできます。研究者たちは、国際マーケティング調査における入れ子構造のデータ構造の問題を解決するために、このモデルを各国の消費者に適用しました。^{[ 8 ]}