一般化線形混合モデル

統計学において、一般化線型混合モデル（GLMM ）は、一般化線型モデル（GLM）の拡張であり、線型予測子に通常の固定効果に加えてランダム効果が含まれます。^{[1] [2] [3]また、GLMMは}、線型混合モデルを非正規データに 拡張するという考え方を一般化線型モデルから継承しています。

一般化線型混合モデルは、グループ間の差異をランダム効果としてモデル化できるため、グループ化されたデータの分析に幅広いモデルを提供します。これらのモデルは、縦断的データを含む多くの種類のデータの分析に役立ちます。^[4]

一般化線形混合モデルは、ランダム効果を条件として、従属変数が指数族に従って分布し、その期待値がリンク関数を介して 線形予測子に関連付けられるように定義されるのが一般的です。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\textstyle X\beta +Zu}$${\textstyle g}$

${\displaystyle g(E[y\vert u])=X\beta +Zu}$。

ここで、 および はそれぞれ固定効果設計行列、固定効果です。および はそれぞれランダム効果設計行列、ランダム効果です。 この非常に簡単な定義を理解するには、まず一般化線型モデルと混合モデルの定義を理解する必要があります。 ${\textstyle X}$${\textstyle \beta }$${\textstyle Z}$${\textstyle u}$

一般化線形混合モデルは、ランダム効果が正規分布する 階層型一般化線形モデルの特殊なケースです。

完全な可能性^[5]

${\displaystyle p(y)=\int p(y\vert u)\,p(u)\,du}$

には一般的な閉形式がなく、ランダム効果を積分するには通常、非常に多くの計算量が必要です。この積分を数値的に近似することに加えて（たとえば、ガウス・エルミート積分法を介して）、ラプラス近似に基づく方法が提案されています。^[6] たとえば、ペナルティ付き準尤度法は、基本的に、重み付き正規混合モデルを作業変量で繰り返しフィッティング（つまり、2回反復）することを含み、^[7]さまざまな商用およびオープンソースの統計プログラムによって実装されています。

最大尤度（赤池情報量基準（AIC）経由など）による一般化線形混合モデルの当てはめには、ランダム効果の積分が含まれます。一般に、これらの積分は解析形式では表現できません。さまざまな近似方法が開発されていますが、すべてのモデルとデータセットに適した特性を持つものはありません（たとえば、グループ化されていないバイナリデータは特に問題になります）。このため、計算能力の向上と方法の進歩により、数値求積法やマルコフ連鎖モンテカルロ法がより実用的になったため、これらの方法の使用が増えています。

赤池情報量基準はモデル選択の一般的な基準である。特定の指数分布族に基づく一般化線形混合モデルに対する赤池情報量基準の推定値が最近得られている。^[8]

• Rには一般化線形混合モデルの機能を提供するパッケージがいくつかあり、 ^{[9] [10]、}lme4^[11]や^[12]も含まれるglmm。
• 一般化線形混合モデルはSASとSPSS ^{[13]を用いて適合することができる。}
• MATLAB はfitglme、一般化線形混合モデルを適合する関数も提供します。
• Pythonパッケージは Statsmodels二項分布とポアソン分布の実装をサポートしています。^[14]
• Juliaパッケージは、提供されたデータに一般化線形混合モデルを適合させるというMixedModels.jl関数を提供します。 ^[15]GeneralizedLinearMixedModel
• DHARMa: 階層型（マルチレベル/混合）回帰モデルの残差診断（utk.edu）^[16]

• 一般化推定方程式
• 階層的一般化線形モデル