ヒューンの方法

数学および計算科学において、ヒューンの方法は、改良された^{[ 1 ]}または修正されたオイラー法（すなわち、明示的な台形公式^{[ 2 ]}）または同様の2段階ルンゲ・クッタ法を指す場合がある。これはカール・ヒューンにちなんで名付けられ、与えられた初期値を持つ常微分方程式（ODE）を解くための数値的手法である。どちらの方法も、オイラー法を2段階2次ルンゲ・クッタ法に拡張したものと見なすことができる。

初期値問題の数値解を計算する手順：

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

Heunの方法によれば、まず中間値を計算する。${\displaystyle {\チルダ {y}}_{i+1}}$そして最終的な近似値 $\displaystyle y_{i+1}}$次の統合ポイントで。

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],}$

どこ${\displaystyle h}$ステップサイズと${\displaystyle t_{i+1}=t_{i}+h}$。

オイラー法は、ヒューン法の基礎として用いられています。オイラー法では、区間の始点における関数の接線を、区間全体における関数の傾きの推定値として用います。これは、ステップサイズが小さければ誤差も小さくなるという仮定に基づいています。しかし、極めて小さなステップサイズを用いた場合でも、ステップ数が多くなると誤差が蓄積し始め、推定値は実際の関数値から乖離していきます。

解曲線が上に凸の場合、その接線は次の点の垂直座標を過小評価し、下に凸の場合はその逆になります。理想的な予測線は、次の予測点で曲線に接するはずです。実際には、解が上に凸か下に凸かを知る方法はなく、したがって、次の予測点が垂直値を過大評価するか過小評価するかを知る方法もありません。曲線の凹性が常に一定であるとは限らず、予測は解の定義域内の異なる点で過大評価と過小評価の両方を行う可能性があります。ヒューンの方法は、接線セグメントによって張られる区間全体を考慮することで、この問題に対処します。上に凸の例を挙げると、左側の接線予測線は、現在の点から次の予測点までの区間の全幅にわたって曲線の傾きを過小評価します。右端点の接線を考慮すると（これはオイラー法を使用して推定できます）、逆の問題が発生します。^{[ 3 ]} 左端点の接線上の点の垂直座標はすべて、検討対象の区間の右端点を含め、解曲線上にある点の垂直座標を過小評価しています。解決策は、傾きをいくらか大きくすることです。 Heun 法では、区間の両端の解曲線への接線を考慮します。一方はを過大評価し、もう一方は理想的な垂直座標を過小評価します。予測線は、右端点の接線の傾きのみに基づいて構築する必要があり、これはオイラー法を使用して近似されます。この傾きを区間の左端点に通すと、結果は明らかに理想的な予測線として使用するには急すぎ、理想的な点を過大評価します。したがって、理想的な点は、誤った過大評価と過小評価の中間、つまり 2 つの傾きの平均に位置します。

オイラー法は、解における次の点の座標を概算するために使用され、この知識に基づいて、元の推定値が再予測または修正されます。^{[ 4 ]}量が${\displaystyle \textstyle f(x,y)}$式の右辺は、任意の点における解の傾きと考えることができる。${\displaystyle \textstyle (x,y)}$これは、次の点のオイラー推定値と組み合わせることで、右端点における接線の傾きを求めることができます。次に、両方の傾きの平均値を使用して、右端区間の補正された座標を求めます。

$\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{left}}=f(x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{right}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))}$

$\displaystyle {\text{理想傾斜}}={\frac {1}{2}}({\text{左傾斜}}+{\text{右傾斜}})}$

直線の傾きは上昇量／水平移動量に等しいという原理を用いると、区間の終点における座標は次の式で求めることができる。

$理想傾斜 = Δy/h$

${\displaystyle \Delta y=h({\text{Slope}}_{\text{ideal}})}$

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h}$、${\displaystyle \textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Slope}}_{\text{ideal}}}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))}$

オイラー法の精度はステップサイズが小さくなるにつれて線形的にしか向上しないのに対し、ヒューン法は精度が2乗的に向上する。^{[ 5 ]}この方法は陰的台形法と比較できるが、${\displaystyle f(t_{i+1},y_{i+1})}$に置き換えられました${\displaystyle f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})}$それを明確にするために。${\displaystyle {\チルダ {y}}_{i+1}}$これは、同じ初期値問題に対してオイラー法を1ステップ実行した結果です。したがって、ヒューンの方法は、予測子として前進オイラー法、修正子として台形法を用いた予測子・修正子法です。

改良されたオイラー法は2段階のルンゲ・クッタ法であり、ブッチャー表（ジョン・C・ブッチャーによる）を用いて記述することができる。

ヒューン法（ラルストン法とも呼ばれる）と呼ばれるもう1つの方法は、ブッチャー表を使用します。^{[ 6 ]}

この方法は、切り捨て誤差を最小限に抑えます。