予測子・修正子法

オイラー法（陽解法）と台形公式（陰解法）を組み合わせることで、単純な予測子・修正子法（ヒューン法として知られる）を構築することができる。

微分方程式を考える

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

ステップサイズをで表す${\displaystyle h}$。

まず、予測ステップ：現在の値から開始します。$\displaystyle y_{i}}$初期推定値を計算する${\displaystyle {\チルダ {y}}_{i+1}}$オイラー法によって、

$\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).}$

次に、修正ステップ：台形公式を使用して初期推定値を改善します。

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.}$

その値は次のステップで使用されます。

予測・修正法には、修正法を適用する頻度に応じてさまざまなバリエーションがあります。予測・評価・修正・評価（PECE）モードは、上記の例のバリエーションを指します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

また、予測・評価・修正（PEC）モードの手法を用いることで、関数fをステップごとに一度だけ評価することも可能です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

さらに、補正ステップを繰り返すことで、真の解への近似値がさらに向上することを期待できます。補正法を2回実行すると、PECECEモードが得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

PECECモードは、PECECEモードよりも関数評価回数が1回少ない。

より一般的には、補正器をk回実行した場合、その方法は P(EC) ^k または P(EC) ^k E モードになります。補正器法が収束するまで反復される場合、これは PE(CE) ^∞と呼ばれることがあります。^{[ 1 ]}