エルミートリング

代数学において、エルミート環（シャルル・エルミートにちなんで）という用語は、3 つの異なるオブジェクトに適用されてきました。

Kaplansky (1949) (p. 465) によれば、環が右エルミートであるとは、環の任意の 2 つの元aとbに対して、環の元dと、環上の可逆な2×2行列 Mが存在して、( a b ) M = ( d 0)となる場合であり、左エルミートという用語は同様に定義されます。このような環上の行列は、正方可逆行列による右乗算によってエルミート標準形にすることができます( Kaplansky (1949)、p. 468)。Lam (2006) (§I.4 の付録) では、この特性をK-エルミートと呼び、以下に示す意味で エルミートを使用しています。

Lam (1978) (§I.4, p. 26) によれば、環上の任意の有限生成安定自由右加群が自由である場合、環は右エルミートである。これは、右加群 (すなわち、 b ₁ R + ... + b _n R = R )としてそれを生成する環の元の任意の行ベクトル ( b ₁ ,..., b _n ) が、いくつかの行を追加することによって(必ずしも正方ではない^{[明確化が必要] ) 可逆行列に完成できることを要求することと同等である。}左エルミートであるための基準も同様に定義できる。Lissner (1965) (p. 528) は以前、この特性を持つ可換環をH 環と呼んだ。

Cohn (2006) (§0.4)によれば、安定的に自由な（左）加群がすべて自由であることに加えて、不変基底数を持つ場合、環はエルミート環である。

カプランスキーの意味でエルミートであるすべての可換環は、ラムの意味でエルミートでもあるが、その逆は必ずしも真ではない。ベズー環はすべてカプランスキーの意味でエルミートであり、カプランスキーの意味でエルミートである可換環はベズー環でもある(Lam (2006)、pp. 39-40)。

Lam (1978) (p. xi) によって導入されたエルミート環予想は、R が可換エルミート環である場合、多項式環 R [ x ] もエルミート環であることを述べています。

• コーン、PM (2000)、「エルミート環からシルベスター領域へ」、アメリカ数学会紀要、128 (7): 1899–1904、doi : 10.1090/S0002-9939-99-05189-8、ISSN  0002-9939、MR  1646314
• コーン、PM（2006）、自由理想環と一般環の局所化、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521853378
• カプランスキー、アーヴィング（1949）、「基本因子と加群」、アメリカ数学会誌、66（2）：464–491、doi：10.2307/1990591、ISSN  0002-9947、JSTOR  1990591、MR  0031470
• ラム、TY (1978)、セールの予想、数学講義ノート、第635巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/BFb0068340、ISBN 978-3-540-08657-4、MR  0485842
• ラム、TY (2006)、射影加群に関するセールの問題、シュプリンガー数学モノグラフ、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー出版社、doi：10.1007/978-3-540-34575-6、ISBN 978-3-540-23317-6
• リスナー、デイヴィッド (1965)、「外積環」、アメリカ数学会誌、116 :526–535、 doi : 10.2307 /1994132、ISSN0002-9947  、JSTOR1994132  、MR0186687