ヘルムホルツの定理

流体力学において、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツにちなんで名付けられたヘルムホルツの定理は、渦線の近傍における流体の 3 次元運動を記述します。これらの定理は、非粘性の流れや、粘性力の影響が小さく無視できる流れに適用されます。

ヘルムホルツの3つの定理は以下の通りである: ^[1]

3 つの定理の別の表現は次のとおりです。

渦管の強さは時間とともに変化しない。^[2]
ある瞬間に渦線上にある流体要素は、その渦線上に位置し続けます。簡単に言えば、渦線は流体とともに移動します。また、渦線と管は閉じたループとして現れ、無限に伸びるか、固体境界で開始/終了する必要があります。
最初に渦のない流体要素は、渦のない状態のままになります。

ヘルムホルツの定理は以下のことを理解する際に応用できます。

ヘルムホルツの定理は現在ではケルビンの循環定理を参照して証明されることが多い。しかし、ヘルムホルツの定理は1867年のケルビンの定理の発表より9年前の1858年に発表された^[3]。

注記

^ Kuethe と Schetcher、空気力学の基礎、セクション 2.14
^ 渦管（循環）の強さは次のように定義されます。ここでは循環、は渦度ベクトル、は表面Aの法線ベクトル（渦管の断面を基本面積dAでとって形成）、は表面Aを囲む閉曲線C上の速度ベクトルです。循環の向きと表面Aの法線を定義する慣例は、右ねじの法則によって与えられます。3 番目の定理は、この強さは管のすべての断面 A で同じであり、時間に依存しないと述べています。これは、次のように言うことと同等です。 $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega}}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ $\Gamma$ ${\vec {\omega }}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {u}}$ ${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$
^ ヘルムホルツ、H. (1858)。「Über Integrale der hybridynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen」。数学に関するジャーナル。55：25～55。ISSN 0075-4102。

MJ ライトヒル 『理論流体力学入門』オックスフォード大学出版局、1986年、ISBN 0-19-853630-5
PG サフマン、渦動力学、ケンブリッジ大学出版局、1995 年、ISBN 0-521-42058-X
GK Batchelor、『流体力学入門』、ケンブリッジ大学出版局（1967年、2000年に再版）。
Kundu, P および Cohen, I,流体力学、第 2 版、Academic Press 2002。
ジョージ・B・アーフケン、ハンス・J・ウェーバー『物理学者のための数学的手法』第4版、アカデミック・プレス：サンディエゴ（1995年）92～93ページ
AM Kuethe および JD Schetzer (1959)、空気力学の基礎、第 2 版。John Wiley & Sons, Inc. ニューヨークISBN 0-471-50952-3