ヘリー・ブレイの定理

確率論において、ヘリー・ブレイの定理は、累積分布関数の弱収束と、特定の可測関数の期待値の収束を関連付ける定理である。この定理は、エドゥアルト・ヘリーとヒューバート・エヴリン・ブレイにちなんで名付けられた。

FとF ₁、F _{2 、 ... を}実数直線上の累積分布関数とする。ヘリー・ブレイの定理によれば、F _{n が}Fに弱収束する場合、

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)\,dF_{n}(x)\quad {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\quad \int _{\mathbb {R} }g(x)\,dF(x)}$

各有界連続関数g : R → Rに対して、関係する積分はリーマン・スティルチェス積分である。

XとX ₁、X ₂、 ... がこれらの分布関数に対応する確率変数である場合、 g ( x ) = xは有界関数ではないため、ヘリー・ブレイの定理は E( X _n ) → E( X ) を意味しないことに注意してください。

実際には、より強力で一般的な定理が成り立つ。PとP 1 , P ₂ , ... をある集合 S 上の確率測度とする_。このとき、P nが_Pに弱収束するのは、次の場合に限る。

${\displaystyle \int _{S}g\,dP_{n}\quad {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\quad \int _{S}g\,dP,}$

S上のすべての有界、連続、実数値関数に対して。（この定理のバージョンにおける積分はルベーグ・スティルチェス積分である。）

上記のより一般的な定理は、測度の弱収束を定義するもの として解釈されることがある （Billingsley、1999、p. 3を参照）。 

1. パトリック・ビリングスリー（1999）。確率測度の収束、第2版。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク。ISBN 0-471-19745-9。

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