ヘリーの定理

ヘリーの定理は、離散幾何学における凸集合の交差に関する基本的な結果である。この定理はエドゥアルト・ヘリーによって1913年に発見されたが^{[1] 、ヘリーが公表したのは1923年であり、その時点ではラドン(1921)とケーニッヒ(1922)による代替証明が既に発表されていた。ヘリーの定理は}ヘリー族の概念を生み出した。

X ₁ , ..., X _{n を}の凸部分集合の有限集合とし、 とする。これらの集合の共通部分が空でない場合、集合全体には空でない共通部分が存在します。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle n\geq d+1}$${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \varnothing .}$

無限コレクションの場合、コンパクト性を仮定する必要があります。

を のコンパクトな凸部分集合のコレクションとし、最大で の濃度の部分コレクションはすべて空でない共通部分を持つものとします。この場合、コレクション全体に空でない共通部分が存在します。 ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d+1}$

我々は、ラドン (1921) の証明と同様にラドンの定理を使用して有限バージョンを証明します。無限バージョンは、コンパクト性の有限交差特性の特徴付けに従います。コンパクト空間の閉じた部分集合のコレクションが空でない交差を持つのは、すべての有限部分集合が空でない交差を持つ場合のみです (1 つのセットを固定すると、他のすべてのセットとの交差は、固定されたコンパクト空間の閉じた部分集合になります)。

証明は帰納法による：

基本ケース: n = d  + 2とします。仮定により、すべてのj = 1, ..., nに対して、 X _jを除くすべてのX _iの共通交差点にある点x _jがあります。ここで、ラドンの定理を集合A = { x ₁ , ..., x _n } に適用すると、Aの互いに素な部分集合A ₁、A ₂が得られ、A ₁の凸包はA ₂の凸包と交差します。p がこれら 2 つの凸包の交差点にある点であると仮定します。

${\displaystyle p\in \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}.}$

実際、任意のj ∈ {1, ..., n }を考えてみましょう。 p ∈ X _jであることを証明します。Aの要素のうち、 X _jに含まれない可能性があるのはx _jだけであることに注意してください。x _j ∈ A ₁の場合、x _j ∉ A ₂となり、したがってX _j ⊃ A ₂となります。X _jは凸であるため、 A ₂の凸包も含まれ、したがってp ∈ X _jでもあります。同様に、x _j ∉ A ₁の場合、X _j ⊃ A ₁となり、同じ理由からp ∈ X _jとなります。p はすべてのX _jに含まれるため、交差にも含まれている必要があります。

上記では、点x ₁、...、x _nはすべて異なると仮定しました。そうでない場合、たとえば、あるi ≠ kに対してx _i = x _kとすると、x _iはすべての集合X _jに含まれ、この場合も交差は空でないと結論付けられます。これで、 n = d  + 2 の場合の証明が完了します。

帰納的ステップ: n  >  d  + 2で、 n −1に対してステートメントが真であると仮定します。上記の議論は、d  + 2個の集合の任意のサブコレクションに空でない交差があることを示しています。次に、2 つの集合X _{n −1}とX _{n を}単一の集合X _{n −1} ∩ X _nに置き換えた集合を考えます。この新しい集合では、d  + 1個の集合のすべてのサブコレクションに空でない交差があります。したがって、帰納的仮説が適用され、この新しい集合に空でない交差があることがわかります。これは、元の集合についても同じことを意味し、証明が完了します。

カラフルなヘリーの定理は、ヘリーの定理の拡張であり、 1 つのコレクションの代わりに、R ^dの凸部分集合のd +1 個のコレクションが存在します。

横断線（各コレクションからの 1 つのセット）のすべての選択に対して、選択されたすべてのセットに共通する点がある場合、コレクションの少なくとも 1 つに対して、コレクション内のすべてのセットに共通する点が存在します。

比喩的に言えば、 d +1 個の集合はd +1 個の異なる色から成っていると考えることができます。すると、定理は、1 色につき 1 組の集合のあらゆる選択に空でない交差がある場合、その色のすべての集合に空でない交差があるような色が存在する、ということになります。^[2]

あらゆるa > 0に対してb > 0が存在し、 X ₁ , ..., X _nがR ^dのn個の凸部分集合であり、集合の( d +1)組の少なくともa分数が共通点を持つ場合、集合の少なくともb分数が共通点を持つ。 ^[2]

• カラテオドリの定理
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• ショケ理論
• ラドンの定理とその一般化であるトヴェルグの定理
• カントールの交差定理- 集合の交差に関するもう一つの定理

• Bollobás, B. (2006)、「問題 29、交差する凸集合: ヘリーの定理」、The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis、ケンブリッジ大学出版局、90～91 ページ、ISBN 0-521-69395-0。
• Danzer, L.; Grünbaum, B .; Klee, V. (1963)、「Helly の定理とその類似物」、Convexity、Proc. Symp. Pure Math.、vol. 7、American Mathematical Society、pp. 101–180。
• エックホフ、J. (1993)、「ヘリー、ラドン、カラテオドリ型定理」、凸幾何学ハンドブック、第 A 巻、第 B 巻、アムステルダム: 北ホラント、pp. 389–448。
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry、137ページ、Krieger、Huntington ISBN 0-88275-368-1。 
• Helly, E. (1923)、「Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、32 : 175–176。
• König, D. (1922)、「Über konvexe Körper」、数学時代、14 (1): 208–220、doi :10.1007/BF01215899、S2CID  128041360。
• Radon, J. (1921)、「Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten」、Mathematische Annalen、83 (1–2): 113–115、doi :10.1007/BF01464231、S2CID  121627696。