再生プロセス

応用確率論において、再生過程とは、過程の特定の部分が互いに統計的に独立しているものとして扱うことができるという性質を持つ確率過程の一種である。 ^[2]この性質は、そのような過程の理論的性質を導出する際に利用できる。

再生プロセスは、1955年にウォルター・L・スミスによってProceedings of the Royal Society Aで初めて定義されました。 ^{[3] [4]}

再生プロセスとは、確率論的観点から、プロセスが再開する時点を持つ確率過程である。 ^[5]これらの時点は、プロセスの進化によって決定される。つまり、時点 0 ≤ T _{0 <} T ₁  <  T ₂ < ... が存在し 、 T _k後のプロセス { X ( T _k  +  t ) :  t  ≥  0  } が存在する場合、プロセス { X ( t ), t ≥ 0  }は再生プロセスである 。

• T ₀後のプロセスと同じ分布を持つ{ X ( T ₀  +  t ) :  t  ≥ 0}
• はT _k前の過程とは独立である{ X ( t ) : 0 ≤  t  <  T _k }

k  ≥ 1の場合^{。[6]直感的には、これは再生プロセスを}iidサイクルに分割できることを意味します。^[7]

T ₀  = 0のとき、 X ( t )は非遅延再生過程と呼ばれる。それ以外の場合、この過程は遅延再生過程と呼ばれる。^[6]

• 更新プロセスは再生プロセスであり、T ₁が最初の更新です。^[5]
• 交互更新プロセスでは、システムは「オン」状態と「オフ」状態を交互に繰り返します。^[5]
• 再帰型マルコフ連鎖は再生過程であり、T ₁は最初の再帰の時刻である。^[5]これにはハリス連鎖が含まれる。
• 反射ブラウン運動は再生プロセスである（粒子が出て戻ってくるまでの時間を測定する）。^[7]

• 更新報酬定理によれば、確率1で、^[8]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}}.}$

ここで、は最初のサイクルの長さであり、は最初のサイクルの値です。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds}$

• 再生プロセスの測定可能な関数は、同じ再生時間を持つ再生プロセスである^[8]