ハルナックの原理

数学の偏微分方程式の分野において、ハルナックの原理またはハルナックの定理は、調和関数の列の収束を扱うハルナックの不等式の系である。

ユークリッド空間R ⁿの開連結部分集合G上の調和関数 の列u ₁ , u ₂ , ...が与えられ、これらは次の意味で点ごとに単調非減少である。

${\displaystyle u_{1}(x)\leq u_{2}(x)\leq \dots }$

Gの任意の点xに対して、極限

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(x)}$

は任意のxに対して拡張された実数直線上に自動的に存在する。ハルナックの定理によれば、極限はGの任意の点で無限であるか、またはGの任意の点で有限であるかのいずれかである。後者の場合、収束はコンパクト集合上で一様であり、極限はG上の調和関数である。^[1]

この定理はハルナックの不等式の系です。u n ( y ) が y の任意の値に対してコーシー列である場合、調和関数u m − u nに適用されたハルナックの不等式は、_yを含む_任意のコンパクトセットD について、十分に大きいmとnに対してsup _D | u _m − u _n |が任意に小さいことを意味します。これはまさにコンパクト セット上の一様収束の定義です。つまり、ハルナックの不等式は、調和関数の列の 1 点におけるコーシー特性を、すべての点におけるコーシー特性に直接伝播するツールです。

コンパクト集合上の一様収束が確立されたので、極限の調和性は平均値の性質（一様収束によって自動的に保存される）が連続関数間の調和関数を完全に特徴付けるという事実から直接導かれる帰結である。^[2]

コンパクト集合上の一様収束の証明は、u _m − u _nが同じ方程式を解くような線型である限り、任意の線型2階楕円偏微分方程式に対して同様に成立します。唯一の違いは、調和関数に対してのみ成立するハルナック不等式ではなく、2階楕円偏微分方程式の解に対して成立する、より一般的なハルナック不等式を使用する必要があることです。コンパクト集合上の一様収束が確立されているため、平均値特性はこのより一般的な設定では利用できないため、新しい解への収束の証明には、代わりにSchauder推定値などの他のツールを使用する必要があります。

出典

• クーラント、R. ;ヒルベルト、D. (1962)。数理物理学の方法。第2巻：偏微分方程式。ニューヨーク-ロンドン：インターサイエンス出版社。doi ：10.1002/ 9783527617234。ISBN 9780471504399. MR  0140802. Zbl  0099.29504.
• ギルバーグ、デイビッド、トゥルーディンガー、ニール S. (2001)。2次楕円偏微分方程式。数学の古典 (1998 年版の再版)。ベルリン:シュプリンガー出版。doi :10.1007 / 978-3-642-61798-0。ISBN 3-540-41160-7. MR  1814364. Zbl  1042.35002.
• Protter, Murray H. ; Weinberger, Hans F. (1984).微分方程式の最大原理(1967 年初版の訂正再版). ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-5282-5. ISBN 0-387-96068-6. MR  0762825. Zbl  0549.35002.

• カミニン、LI (2001) [1994]、「ハルナックの定理」、数学百科事典、EMS プレス