ハルナックの不等式

数学において、ハルナックの不等式は、 A. ハルナック (1887)によって導入された、2 点における正の調和関数の値を関連付ける不等式です。ハルナックの不等式は、調和関数の列の収束に関するハルナックの定理を証明するために使用されます。J . セリン (1955) とJ. モーザー (1961、1964) は、ハルナックの不等式を楕円型または放物型偏微分方程式の解に一般化しました。このような結果は、弱解の内部正則性を示すために使用できます。

ペレルマンのポアンカレ予想の解決法は、リッチフローに対してR.ハミルトン （1993）が発見したハルナック不等式のバージョンを使用しています。

ハルナックの不等式は、半径R、中心x _0のR ⁿ 内の閉球上で定義された非負関数 fに適用されます。これは、f が閉球上で連続で、その内部で調和関数である場合、| x  −  x ₀ | =  r  <  Rとなるすべての点xに対して、

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

平面R ² ( n = 2) では不等式は次のように表すことができます。

${\displaystyle {Rr \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over Rr}f(x_{0}).}$

の一般領域では不等式は次のように述べられる。 がの有界領域である場合、定数が存在し、 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sup_{x\in\omega}u(x)\leq C\inf_{x\in\omega}u(x)}$

すべての 2 回微分可能で調和非負関数 に対して。定数はとは独立であり、定義域とのみに依存します。 ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \omega}$

ポアソンの公式により

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|xy|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

ここでωn _−1はRnにおける単位球の面積であり^、 r ₌ | x − x0 |である。

以来

${\displaystyle Rr\leq |xy|\leq R+r,}$

積分関数の核は

${\displaystyle {\frac {Rr}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|xy|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(Rr)^{n-1}}}.}$

この不等式を上記の積分に代入し、球面上の調和関数の平均が球面の中心の値に等しいという事実を使用すると、ハルナックの不等式が導かれます。

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

楕円型偏微分方程式の場合、ハルナックの不等式は、ある連結した開領域における正の解の上限が、下限の定数倍で制限され、データの 関数ノルムを含む項が追加される可能性があることを示しています。

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

定数は方程式の楕円性と接続された開領域に依存します。

熱方程式などの線形放物型偏微分方程式には、ハルナックの不等式のバージョンが存在します。

を滑らかな（有界な）領域とし、線形楕円演算子を考える。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

滑らかで有界な係数と正定値行列を持つ。が ${\displaystyle (a_{ij})}$${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$で${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

そのような

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

がコンパクトに に含まれると仮定し、 を選択する。すると、定数C > 0が存在する（ K、、、および の係数 のみに依存する）。つまり、各 に対して、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \tau \in (0,T)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t-\tau }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

• ハルナックの定理

• カファレッリ、ルイス A.; カブレ、ザビエル (1995)、「完全非線形楕円方程式」、プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学協会、pp. 31–41、ISBN 0-8218-0437-5
• フォランド、ジェラルド B. (1995)、偏微分方程式入門(第 2 版)、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-04361-2
• ギルバーグ、デイビッド; トルディンガー、ニール S. (1988)、楕円型2次偏微分方程式、シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7
• ハミルトン、リチャード S. (1993)、「リッチフローのハルナック推定」、微分幾何学ジャーナル、37 (1): 225–243、doi : 10.4310/jdg/1214453430、ISSN  0022-040X、MR  1198607
• Harnack, A. (1887)、Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene、ライプツィヒ: VG Teubner
• ジョン、フリッツ（1982）、偏微分方程式、応用数学科学、第1巻（第4版）、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90609-6
• カミニン、LI (2001) [1994]、「ハルナックの定理」、数学百科事典、EMS プレス
• Kassmann, Moritz (2007)、「ハルナック不等式: 入門」境界値問題2007 :081415、doi : 10.1155/2007/81415、MR 2291922
• モーザー、ユルゲン (1961)、「楕円微分方程式に対するハルナックの定理について」、純粋および応用数学に関する通信、14 (3): 577–591、doi :10.1002/cpa.3160140329、MR  0159138
• モーザー、ユルゲン (1964)、「放物型微分方程式のハルナック不等式」、純粋および応用数学に関する通信、17 (1): 101–134、doi :10.1002/cpa.3160170106、MR  0159139
• セリン、ジェームズ (1955)、「線形楕円方程式のハルナック不等式について」、Journal d'Analyse Mathématique、4 (1): 292–308、doi :10.1007/BF02787725、MR  0081415
• LC Evans (1998)、偏微分方程式。アメリカ数学会、米国。楕円型偏微分方程式については定理 5、334 ページを参照。放物型偏微分方程式については定理 10、370 ページを参照。