浜田方程式

企業財務において、ハマダ方程式はレバレッジをかけた企業の財務リスクを事業リスクから切り離す方法として使用される方程式です。この方程式は、モディリアーニ・ミラー定理と資本資産価格モデルを組み合わせたものです。レバレッジベータの決定に役立ち、これを通じて企業の最適な資本構成を決定します。この理論の立案者である財務学教授 ロバート・ハマダにちなんで名付けられました。

浜田の方程式は、レバレッジをかけた企業 (負債と株式の両方で資金調達した企業) のベータと、レバレッジをかけていない企業 (負債のない企業) のベータを関連付けます。この方程式は、資本構成、ポートフォリオ管理、リスク管理など、金融のさまざまな分野で有用であることが証明されています。この方程式は、MBA の企業財務および評価クラスでよく教えられています。この方程式は、比較対象企業の資本コストに基づいて、レバレッジをかけた企業の資本コストを決定するために使用されます。ここで比較対象企業とは、対象企業と同様の事業リスクを持ち、したがって、レバレッジをかけていないベータが同様の企業です。

式は^[1]

${\displaystyle \beta _{L}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]\qquad (1)}$

ここで、β _Lとβ _Uはそれぞれレバレッジ付きベータとレバレッジなしベータ、T は税率とレバレッジ（ここでは企業の 負債Dと資本Eの比率として定義）です。${\displaystyle \phi \,\!}$

浜田の方程式の重要性は、事業のリスク（ここではレバレッジなしの企業のベータβ _Uに反映される）を、レバレッジの財務リスクを含むレバレッジありの企業のベータβ _Lから分離することである。一般的に一定とみなされる税率の影響は別として、2 つのベータの相違は、事業の資金調達方法にのみ起因する。

この方程式は一般的に成り立つと誤解されることが多い。しかし、浜田方程式の背後にはいくつかの重要な仮定がある。 ^[2]

1. 浜田の式は、一定負債、つまり負債のドル額が時間の経過に伴って一定である場合の、モディリアーニとミラーによる税額控除値の定式化に基づいています。企業が一定のレバレッジポリシーに従う場合、つまり企業が負債資本が自己資本の一定の割合に維持されるように資本構成を再調整する場合、この式は正しくありません。これは、固定ドル負債よりも一般的で現実的な仮定です (Brealey、Myers、Allen、2010)。企業が負債対自己資本比率を継続的に再調整すると仮定する場合、浜田の式は Harris-Pringle の式に置き換えられます。企業が年に 1 回など定期的にのみ再調整する場合は、Miles-Ezzell の式を使用します。
2. 負債のベータβ _{D は}ゼロです。負債資本に、利息と元金の支払いが期日に行われないリスクがほとんどない場合、これは当てはまります。利息が期日に支払われるということは、利息費用に対する税額控除も、利息が支払われる期間に実現されることを意味します。
3. 税盾を計算するために使用される割引率は、負債資本コストに等しいと仮定されます（したがって、税盾は負債と同じリスクを持ちます）。これと（1）の一定負債の仮定は、税盾が負債の市場価値に比例することを意味しています：税盾 = T×D。

この簡略化された証明は、浜田の原論文 (Hamada, RS 1972) に基づいています。企業のベータは次のようになります。

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {cov(r_{i},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}\qquad (2)}$

また、レバレッジをかけていない企業とレバレッジをかけている企業の自己資本利益率は次のようになることもわかっています。

${\displaystyle r_{E,U}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC}{E_{U}}}\qquad (3)}$

${\displaystyle r_{E,L}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC+Debt_{new}-Interest}{E_{L}}}\qquad (4)}$

ここで、は純資本支出と純運転資本の変化の合計です。(3)と(4)の式を(2)に代入すると、市場と株式キャッシュフローの構成要素間の共分散がゼロ(したがってβ _∆IC =β_新規負債=β_利息=0 )であると仮定すると、EBITと市場間の共分散を除いて、次の式(5)が得られます。 ${\displaystyle \デルタ IC}$

${\displaystyle \beta _{U}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{U}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}$

${\displaystyle \beta _{L}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{L}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}}$

${\displaystyle E_{L}\beta _{L}=E_{U}\beta _{U}\rightarrow \beta _{L}={\frac {E_{U}}{E_{L}}}\ベータ_{U}}$

よく知られている方程式を得るには、企業が全額自己資本で賄われ、税率がゼロの場合、企業の資産価値と企業の自己資本価値が等しいと仮定します。数学的には、これは税率がゼロの場合のレバレッジのない企業の価値を意味します: V _U =V _A =E _U。レバレッジのない企業の価値を固定し、一部の自己資本を負債に変更した場合 ( D>0 )、法人税がないため、企業の価値は変わりません。この状況では、レバレッジのある企業の価値は (6) です:

${\displaystyle V_{L}=V_{U}=V_{A}=E_{U}=E_{L|T=0}+D}$

税率がゼロより大きく（T>0）、財務レバレッジがある場合（D>0）、レバレッジをかけた企業とかけていない企業は等しくありません。これは、レバレッジをかけた企業の価値が、税控除の現在価値だけ大きくなるからです。

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {Dr_{D}T}{(1+r_{D})^{i}}}={\frac {Dr_{D}T}{r_{D}}}=DT}$、

だから（７）

${\displaystyle V_{L}=V_{\{U,A}+DT=E_{U}+DT=E_{L|T=0}+D+DT=E_{L|T>0}+D}$

ここで、V _{A は}レバレッジをかけていない企業の資産価値であり、上で固定した。(7)式からE _Uは(8)となる。

${\displaystyle E_{U}=E_{L|T>0}+D-DT}$

(5)式と(8)式を組み合わせると、レバレッジ付きおよびレバレッジなしの株式ベータのよく知られた式が得られます。

${\displaystyle \beta _{L}={\frac {E_{L}+D-DT}{E_{L}}}\beta _{U}=\left[1+{\frac {D}{E_ {L}}}(1-T)\right]\beta _{U}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]}$

ここで、Iは利払いの合計、Eは資本、Dは負債、Vは企業カテゴリーの価値 (レバレッジありまたはレバレッジなし)、Aは資産、Mは市場参照、L はレバレッジあり、Uはレバレッジなしカテゴリー、rは収益率、T は税率を示します。

• Brealey, R., Myers, S., Allen, F. (2010)「Principles of Corporate Finance」、McGraw-Hill、ニューヨーク、ニューヨーク州、第10版、第19章、485～486ページ。
• Cohen, RD (2007)「資本構成への応用のためのハマダ方程式へのデフォルトリスクの組み込み」、Wilmott Magazine (論文をダウンロード)
• Conine, TE および Tamarkin, M. (1985)「部門別資本コストの推定: レバレッジの調整」『Financial Management』14春号、54 ページ。
• Harris, RS および Pringle, JJ (1985)「リスク調整割引率 - 平均リスク事例からの拡張」『Journal of Financial Research』(1985 年秋): 237–244。
• Miles, J. および Ezzell, J. (1980)「加重平均資本コスト、完全資本市場、プロジェクト寿命: 明確化」。Journal of Financial and Quantitative Analysis 15: 719–730。