ホールの普遍群

代数学において、ホールの普遍群は、次のような性質によって一意に特徴付けられる 可算な局所有限群（Uとする）です。

• 任意の有限群GはUへの単射を許容します。
• このような単同型はすべて、Uの内部自己同型によって共役になります。

これは1959年にフィリップ・ホールによって定義され、^[1]すべての可算な局所有限群がこれに埋め込まれる という普遍的な性質を持っています。

ホールの普遍群は、すべての有限群のクラスの フレセ極限です。

の任意の群を取ります。の元の順列 の群 を、 群 を で表します。${\displaystyle \Gamma_{0}}$${\displaystyle \geq 3}$${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle S_{\Gamma _{0}}}$${\displaystyle \Gamma_{0}}$${\displaystyle \Gamma _{2}}$

${\displaystyle S_{\Gamma _{1}}=S_{S_{\Gamma _{0}}}\,}$

などなど。グループは順列によって自分自身に忠実に作用するので

${\displaystyle x\mapsto gx\,}$

ケーリーの定理によれば、これは単射の連鎖を与える。

${\displaystyle \Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma _{1}\hookrightarrow \Gamma _{2}\hookrightarrow \cdots .\,}$

全体の直接的な極限（つまり、和集合）は ホールの普遍群Uです。 ${\displaystyle \Gamma_{i}}$

実際、U は任意の大きさの対称群を含み、上で説明したように、任意の群は置換群への単射を許容します。GをUへの 2 つの埋め込みを許容する有限群とします。Uは直接極限でG は有限であるため、これら 2 つの埋め込みの像は に属します 。この群は 置換によって に作用し 、すべての可能な埋め込みを共役にします 。^[1]${\displaystyle \Gamma _{i}\subset U}$${\displaystyle \Gamma _{i+1}=S_{\Gamma _{i}}}$${\displaystyle \Gamma_{i}}$${\displaystyle G\hookrightarrow \Gamma _{i}}$