グルンスキーの定理

数学において、グルンスキーの定理は、ドイツの数学者ヘルムート・グルンスキーによるもので、複素数における単位円板上で定義された正則一価関数に関する複素解析の結果である。定理は、単位円板上で定義された一価関数は、点 0 を固定して、すべての円板|z| < r をr ≤ tanh π/4の星状領域に写像することを述べている。これが成り立つ最大のr は、関数の 星状半径と呼ばれる。

f を単位円板D上の一価正則関数としてf (0) = 0とします。すると、すべてのr ≤ tanh π/4 に対して、円板の像|z| < rは 0, に関して星型となり、つまり (0,1) 内の実数による乗算に対して不変となります。

f (z)がD上で単価でf (0) = 0 の場合、

${\displaystyle \left|\log {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

対数の実部と虚部を取ると、2つの不等式が成り立つ。

${\displaystyle \left|{zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+|z| \over 1-|z|}}$

そして

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

zを固定すると、これらの等式は両方とも適切なケーベ関数によって達成される。

${\displaystyle g_{w}(\zeta )={\zeta \over (1-{\overline {w}}\zeta )^{2}},}$

ここで|w| = 1 です。

Grunsky (1932) は、もともとルートヴィヒ・ビーベルバッハの極値手法に基づいてこれらの不等式を証明しました。Goluzin (1939) で概説されたその後の証明は、Loewner 方程式に依存していました。その後、 Grunsky 行列に対する Grunsky の不等式 (1939) と同等の形式であるGoluzin の不等式に基づいて、より基本的な証明が与えられました。

z > 1 の単葉関数gに対して、展開

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots .}$

ゴルジンの不等式によれば、

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \over z_{i}-z_{j}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},}$

ここで、z _{i は}| z _i | > 1 の異なる点であり、λ _{i は}任意の複素数です。

n = 2とすると、λ ₁ = – λ ₂ = λとなるので、不等式は次のようになる。

${\displaystyle \left|\log {g^{\prime }(\zeta )g^{\prime }(\eta )(\zeta -\eta )^{2} \over (g(\zeta )-g(\eta ))^{2}}\right|\leq \log {|1-\zeta {\overline {\eta }}|^{2} \over (|\zeta |^{2}-1)(|\eta |^{2}-1)}.}$

gが奇関数でη = – ζの 場合、次の式が得られます。

${\displaystyle \left|\log {\zeta g^{\prime }(\zeta ) \over g(\zeta )}\right|\leq {|\zeta |^{2}+1 \over |\zeta |^{2}-1}.}$

最後に、 f がD内の任意の正規化された一価関数である場合、 fに必要な不等式は、

${\displaystyle g(\zeta )=f(\zeta ^{-2})^{-{1 \over 2}}}$

と${\displaystyle z=\zeta ^{-2}.}$

f をD上の単葉関数でf (0) = 0とする。ネヴァンリンナの条件により、 f が|z| < r上で星状となるのは、次の場合のみである。

${\displaystyle \Re {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\geq 0}$

|z| < rの場合。同様に

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {\pi \over 2}.}$

一方、上記のGrunskyの不等式により、

${\displaystyle \left|\arg {zf^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

したがって、

${\displaystyle \log {1+|z| \over 1-|z|}\leq {\pi \over 2},}$

不等式はzで成立する。この条件は次と等しい。

${\displaystyle |z|\leq \tanh {\pi \over 4}}$

したがって、r ≤ tanh π/4 を満たす任意のディスク|z| < r上でf は星状になります。

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