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計量幾何学の数学の分野では、ミハエル・グロモフが計量空間の列に対する基本的なコンパクト性定理を証明しました。リーマン多様体の特殊なケースでは、彼のコンパクト性定理の重要な仮定は、リッチ曲率の仮定の下で自動的に満たされます。これらの定理は、幾何学的群論やリーマン幾何学の分野で広く使用されています。
計量コンパクト性定理
グロモフ・ハウスドルフ距離は、任意の2つの計量空間間の距離の概念を定義し、それによって、別の計量空間に収束する計量空間の列の概念を確立する。これは、グロモフ・ハウスドルフ収束として知られている。グロモフは、コンパクト計量空間の列に対して、部分列がグロモフ・ハウスドルフ距離を基準として何らかの計量空間に収束することを保証する条件を発見した。 [1]
( X i , d i )を、一様に制限された直径を持つコンパクトな距離空間の列とします。すべての正の数 ε に対して自然数N が存在し、すべてのiに対して、集合X i は半径εの距離球N 個 で覆われるとします。すると、列( X i , d i )には、グロモフ・ハウスドルフ距離に対して収束する部分列が存在します。
グロモフ・ハウスドルフ収束の理論におけるこの定理の役割は、一様収束の理論におけるアルツェラ・アスコリ定理の役割に類似していると考えられる。[2]グロモフは、1981年にミルナー・ウルフ予想を解決した際に、この定理を初めて正式に導入し、特定の距離空間の漸近錐を定義するために適用した。 [3]これらの手法は、後にグロモフらによって超フィルターの理論を使用して拡張された。[4]
リーマンのコンパクト性定理
測地的に完全な リーマン多様体の設定に特化し、リッチ曲率の下限を固定すると、グロモフの計量コンパクト性定理における重要な被覆条件は、ビショップ-グロモフの体積比較定理の系として自動的に満たされる。したがって、次のようになる: [5]
リッチ曲率の下限が一様で、直径の上限が一様である閉じたリーマン多様体の列を考えます。すると、グロモフ・ハウスドルフ距離に対して収束する部分列が存在します。
収束部分列の極限は、滑らかな構造やリーマン構造を持たない距離空間になることがある。[6]距離コンパクト性定理のこの特殊なケースは、リーマン幾何学の分野では、下側のリッチ曲率境界の純粋に距離的な結果を分離する点で重要である。
参考文献
- ^ Bridson & Haefliger 1999、定理 5.41; Burago、Burago & Ivanov 2001、定理 7.4.15。グロモフ 1981、セクション 6。グロモフ 1999、命題 5.2; Petersen 2016、提案 11.1.10。
- ^ ヴィラニ2009、754ページ。
- ^ グロモフ、1981、セクション 7;グロモフ、1999 年、パラグラフ 5.7。
- ^ Bridson & Haefliger 1999、定義5.50; Gromov 1993、セクション2。
- ^ グロモフ 1999、定理 5.3; Petersen 2016、結果 11.1.13。
- ^ グロモフ1999、パラグラフ5.5。
ソース。
- マーティン・R・ブリドソン;ヘフリガー、アンドレ(1999)。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 319. ベルリン: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-662-12494-9。ISBN 3-540-64324-9MR 1744486。Zbl 0988.53001 。
- ブラゴ, ドミトリ; Burago, ユーリ県;イワノフ、セルゲイ(2001)。計量幾何学のコース。数学の大学院研究。 Vol. 33. ロードアイランド州プロビデンス:アメリカ数学協会。土井：10.1090/gsm/033。ISBN 0-8218-2129-6. MR 1835418. Zbl 0981.51016. （訂正：[1]）
- グロモフ、ミカエル(1981)。 「多項式成長と拡大マップのグループ」。出版物 Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques。53：53～73。土井：10.1007/BF02698687。MR 0623534。S2CID 121512559。Zbl 0474.20018 。
- Gromov, M. (1993)。「無限群の漸近不変量」。Niblo, Graham A.、Roller, Martin A. (編)。幾何群論。第 2 巻。サセックス大学で開催されたシンポジウム (サセックス、1991 年 7 月)。ロンドン数学会講義ノート シリーズ。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。pp. 1–295。ISBN 0-521-44680-5. MR 1253544. Zbl 0841.20039.
- Gromov, Misha (1999).リーマン空間と非リーマン空間の計量構造。Progress in Mathematics。第 152 巻。Bates, Sean Michael 訳。M . Katz、P. Pansu、S. Semmesによる付録付き。(1981 年のフランス語原版に基づく)。ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007 /978-0-8176-4583-0。ISBN 0-8176-3898-9. MR 1699320. Zbl 0953.53002.
- Petersen, Peter (2016).リーマン幾何学. Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (1998年初版の第3版). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7MR 3469435。Zbl 1417.53001 。
- ヴィラーニ、セドリック(2009)。最適な輸送。古くて新しい。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 338. ベルリン: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-540-71050-9。ISBN 978-3-540-71049-3. MR 2459454. Zbl 1156.53003.