地質調査

地球物理調査は、空間研究のための地球物理データの体系的な収集です。地球物理信号の検出と分析は、地球物理信号処理の中核を形成します。地球内部から発せられる磁場と重力場は、地震活動と内部構造に関する重要な情報を保持しています。したがって、電場と磁場の検出と分析は非常に重要です。電磁波と重力波は多次元信号であるため、すべての 1-D 変換技術をこれらの信号の分析にも拡張できます。したがって、この記事では多次元信号処理技術についても説明します。

物理探査では、多種多様な感知機器が使用され、地球表面の上または下から、あるいは航空、軌道、または海洋プラットフォームからデータが収集されます。物理探査は、地質学、考古学、鉱物およびエネルギー探査、海洋学、および工学の分野で多くの用途があります。物理探査は、産業界だけでなく学術研究にも使用されています。

重力計、重力波センサー、磁力計などの感知機器は、重力場と磁場の変動を検出します。地質調査から収集されたデータは分析され、そこから意味のある結論が導き出されます。あらゆる信号のスペクトル密度と時間周波数の局在を分析することは、石油探査や地震学などの用途において重要です。

物理探査には多くの方法と種類の機器が用いられる。物理探査に使用される技術には以下のものがある: ^[1]

1. 反射地震学、地震屈折法、地震トモグラフィーなどの地震学的手法。このタイプの調査は、地球の表面下の岩石層の詳細な構造を発見するために行われます。
2. 地震電気法
3. 測地学と重力技術、これには重力測定法と重力勾配測定法が含まれます。このタイプの調査は、地球の表面下の岩石層の構造を発見するために行われます。
4. 航空磁気調査や磁力計などの磁気技術。
5. 電気技術には、電気抵抗トモグラフィー、誘導分極、自発電位、海洋制御源電磁気（mCSEM）またはEM海底ロギングが含まれます。^[2]このタイプの調査は、主に地下水の存在を調査するために行われます。
6. 電磁気学的手法、例えばマグネトテルリック法、地中レーダー法、過渡/時間領域電磁気学法、地表核磁気共鳴法（磁気共鳴探査法とも呼ばれる）など。^[3]
7. ボーリング孔地球物理学、井戸検層とも呼ばれます。
8. ハイパースペクトルを含むリモートセンシング技術。

このセクションでは、地球物理波の測定原理について説明します。磁場と重力場は、地球物理信号の重要な要素です。

重力場の変化を測定するのに使用される計器は重力計です。この計器は、地下の地層や堆積物による重力の変化を測定します。磁場の変化を測定するには、磁力計が使用されます。磁力計には、磁場の垂直成分のみを測定するものと、磁場全体を測定するものの 2 種類があります。

これらのメーターの助けを借りて、さまざまな場所の重力値または地球の磁場の値が測定されます。次に、これらの測定値をさまざまな補正で補正し、異常マップを作成します。これらの異常マップを分析することで、その地域の岩石層の構造についてのアイデアを得ることができます。この目的のために、さまざまなアナログまたはデジタル フィルターを使用する必要があります。

磁力計は、地球の磁場や磁気異常を測定するために使用されます。磁力計の感度は要件によって異なります。たとえば、地磁気の変動は数 aT のオーダーになることがあります (1aT = 10 ^{−18 T)。このような場合、}超伝導量子干渉装置(SQUID)などの特殊な磁力計が使用されます。

ジム・ジマーマンはフォード研究所に在職中に、高周波超伝導量子干渉装置（SQUID）の共同開発者となった。^[4]しかし、SQUIDの発明につながった出来事は、実は偶然の産物だった。ジョン・ランベ^[4]は、核磁気共鳴の実験中に、数nTオーダーの磁場の変化によってインジウムの電気的特性が変化することに気づきました。しかし、ランベはSQUIDの有用性を完全には認識していませんでした。

SQUID は、極めて弱い磁場を検出する能力を持っています。これは、ジョセフソン接合の長所によるものです。ジム・ジマーマンは、ジョセフソン接合を作成するための新しいアプローチを提案することで、SQUID 開発の先駆者となりました。彼は、ニオブ線とニオブリボンを使用して、並列に接続された 2 つのジョセフソン接合を形成しました。リボンは、線を流れる超伝導電流を遮断する役割を果たします。接合は磁場に対して非常に敏感であるため、10 ^{^-18} T 程度の磁場を測定するのに非常に役立ちます。

重力波センサーは、より重い物体の影響による重力場のわずかな変化も検出することができます。大きな地震波は重力波に干渉し、原子に変化を引き起こす可能性があります。したがって、地震波の規模は重力波の相対的な変化によって検出することができます。^[5]

いかなる質量の運動も重力場の影響を受けます。^[6]惑星の運動は太陽の巨大な重力場の影響を受けます。同様に、重い物体は近くにあるより質量の小さい物体の運動に影響を与えます。しかし、この運動の変化は天体の運動に比べると非常に小さいものです。そのため、このような微小な変化を測定するには特別な機器が必要です。

原子干渉計は回折の原理で動作します。回折格子は、光の 1/4 波長の分離を持つナノ加工材料です。原子ビームが回折格子を通過すると、原子固有の波動性により、原子は分割され、スクリーン上に干渉縞を形成します。原子干渉計は、原子の位置の変化に非常に敏感です。重い物体が近くの原子の位置をシフトすると、干渉縞のシフトを検出することで原子の変位を測定できます。

このセクションでは、信号認識と信号解析の背後にある方法と数学的手法について説明します。信号の時間領域と周波数領域の解析を検討します。また、このセクションでは、さまざまな変換と、多次元波の解析におけるその有用性についても説明します。

あらゆる信号処理アプローチの最初のステップは、アナログからデジタルへの変換です。アナログ領域の地球物理学的信号は、さらに処理するためにデジタル領域に変換する必要があります。ほとんどのフィルターは、1D と 2D の両方で使用できます。

名前が示すように、アナログ領域の重力波と電磁波が検出され、サンプリングされ、さらに分析するために保存されます。信号は時間領域と周波数領域の両方でサンプリングできます。信号成分は時間と空間の両方の間隔で測定されます。たとえば、時間領域サンプリングとは、複数の時間インスタンスで信号成分を測定することを指します。同様に、空間サンプリングとは、空間内の異なる場所で信号を測定することを指します。

1D 時間変動信号の従来のサンプリングは、離散的な時間間隔で対象信号の振幅を測定することによって実行されます。同様に、時空間信号 (3D 空間と時間の 4 つの変数の関数である信号) のサンプリングは、異なる時間インスタンスと空間内の異なる場所で信号の振幅を測定することによって実行されます。たとえば、地球の重力データは、重力波センサーまたはグラディオメーター^[7]を使用して、異なる時間に異なる場所に配置することで測定されます。

時間領域信号のフーリエ展開は、信号をその周波数成分の合計、具体的には正弦と余弦の合計として表現します。ジョセフ・フーリエは、物体の熱分布を推定するためにフーリエ表現を考案しました。同じアプローチを使用して、重力波や電磁波などの多次元信号を分析できます。

このような信号の4Dフーリエ表現は次のように表される。

${\displaystyle S(K,\omega )=\iint s(x,t)e^{-j(\omega tk'x)}\,dx\,dt}$

• ω は時間周波数を表し、k は空間周波数を表します。
• s ( x , t ) は4次元の時空信号であり、進行する平面波として考えることができる。このような平面波の場合、伝播面は考慮する波の伝播方向に対して垂直である。^[8]

ウェーブレット変換の開発の動機は、短時間フーリエ変換でした。解析対象となる信号、例えばf ( t )は、特定の時刻に窓関数w ( t )と乗算されます。この信号のフーリエ係数を解析すると、特定の時刻における信号の周波数成分に関する情報が得られます。^[9]

STFT は数学的には次のように記述されます。

${\displaystyle \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv X(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )e^{-j\omega t}\,dt}$

ウェーブレット変換は次のように定義される。

${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\ }\Psi ({\frac {tb}{a}})x(t)dt}$

解析にはさまざまなウィンドウ関数を使用できます。ウェーブレット関数は、時間と周波数の両方の局在化に使用されます。たとえば、フーリエ係数の計算に使用されるウィンドウの 1 つは、時間と周波数に最適に集中するガウス ウィンドウです。この最適な性質は、それぞれ時間スケーリングと時間シフト パラメーターaと bを考慮することで説明できます。aとbの適切な値を選択することにより、その信号に関連付けられた周波数と時間を決定できます。任意の信号をウェーブレット関数の線形結合として表すことで、時間領域と周波数領域の両方で信号を局在化できます。したがって、ウェーブレット変換は、空間的および時間的な周波数の局在化が重要な地球物理学的アプリケーションで重要です。^[10]

ウェーブレットを用いた時間周波数の特定

地球物理学的信号は、空間と時間の連続的に変化する関数です。ウェーブレット変換技術は、基底関数のシフトおよびスケールされたバージョンの線形結合として信号を分解する方法を提供します。「シフト」と「スケール」の量を変更して、信号を時間と周波数で特定することができます。

簡単に言えば、空間時間信号フィルタリング問題^[11]は、特定の信号の速度と方向を特定する問題と考えることができます。^[12]空間時間信号用のフィルタの設計は、1D 信号の場合と同様のアプローチに従います。1D 信号用のフィルタは、フィルタの要件が特定の非ゼロ周波数範囲の周波数成分を抽出することである場合、適切な通過帯域と阻止帯域周波数を持つバンドパスフィルタが決定されるように設計されます。同様に、多次元システムの場合、フィルタの波数 - 周波数応答は、設計された領域 ( k、ω )、つまり波数 - 周波数で 1 になり、他の場所では 0 になるように設計されます。^[12]

このアプローチは、空間時間信号のフィルタリングに適用される。^[12]これは、特定の方向に移動する信号を分離するように設計されています。最も単純なフィルタの1つは、加重遅延および合計ビームフォーマーです。出力は、遅延信号の線形結合の平均です。言い換えると、ビームフォーマーの出力は、受信信号の加重および遅延バージョンを平均化することによって形成されます。遅延は、ビームフォーマーの通過帯域が空間内の特定の方向に向けられるように選択されます。^[12]

このセクションでは、多次元信号のパワースペクトル密度の推定について扱います。スペクトル密度関数は、ランダム信号の自己相関関数の多次元フーリエ変換として定義できます。^[13]

${\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s*\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$

スペクトル推定は、フーリエ変換（ピリオドグラムとも呼ばれる）の大きさの二乗を求めることで得られます。ピリオドグラムから得られるスペクトル推定は、連続するピリオドグラム サンプルの振幅または波数に大きなばらつきがあります。この問題は、古典的な推定理論を構成する手法を使用して解決されます。これらの手法は次のとおりです。

1.バートレットは、スペクトル推定値を平均してパワースペクトルを計算する方法を提案した。時間間隔にわたるスペクトル推定値を平均すると、より良い推定値が得られる。^[14]

${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{\mathrm {det} \,N}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ バートレット事件^[13]

2.ウェルチの方法は、データウィンドウ関数を使用して測定値を分割し、ピリオドグラムを計算し、それらを平均してスペクトル推定値を取得し、高速フーリエ変換を使用してパワースペクトルを計算することを提案しました。これにより計算速度が向上しました。^[15]

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{\mathrm {det} \,N}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ウェルチ事件^[13]

4. 検討中のピリオドグラムは、ウィンドウ関数を掛け合わせることで修正できます。スムージングウィンドウは推定値を滑らかにするのに役立ちます。スムージングスペクトルのメインローブが広くなるほど、周波数分解能は低下しますが、より滑らかになります。^[13]

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$修正ピリオドグラム^[13]

スペクトル推定の詳細については、多次元信号のスペクトル解析を参照してください。

ここで議論されている方法は、地下の対象となる物体の質量分布がすでにわかっていることを前提としており、したがってそれらの位置を推定する問題はパラメトリックな位置特定に帰着します。たとえば、質量の中心 (CM ₁、CM ₂ ...CM _{n ) を持つ地下物体が地表下の p 1}、p ₂ ...p _{n の}位置にあるとします。重力勾配 (重力場の成分) は、重力勾配計とも呼ばれる加速度計付きの回転ホイールを使用して測定されます。^[7]この機器は、重力場のそれぞれの成分を測定するために、さまざまな方向に配置されます。重力勾配テンソルの値が計算され、分析されます。分析には、検討中の各物体の寄与の観察が含まれます。最大尤度手順に従い、位置推定の品質を評価するためにCramér–Rao 境界(CRB) が計算されます。

地球の表面に等間隔で設置されたさまざまなセンサーが地震波を受信します。地震波は地球のさまざまな層を通過し、振幅の変化、到達時間、位相シフトなどの特性が変化します。信号のこれらの特性を分析することで、地球内部の活動をモデル化できます。

ボリューム レンダリングの方法は、スカラー フィールドを分析するための重要なツールです。ボリューム レンダリングは、3D 空間の表現を簡素化します。3D 空間内のすべてのポイントは、ボクセルと呼ばれます。3Dデータセット内のデータは、さまざまな手法を使用して 2D 空間 (表示画面) に投影されます。MRI、地震アプリケーションなど、さまざまなアプリケーションには、さまざまなデータ エンコーディング スキームが存在します。