多次元スペクトル推定

これは、正確に計算できない一次元または多次元信号のパワースペクトルを推定する手法です。広義定常ランダム過程のサンプルとその2次統計量（測定値）が与えられます。推定値は、ランダム信号の自己相関関数の多次元フーリエ変換を適用することによって得られます。推定は、測定値 ri(n) の多次元フーリエ変換の振幅を二乗することによって得られる周期図を計算することから始まります。周期図から得られるスペクトル推定値は、連続する周期図サンプルの振幅または波数に大きな分散を持ちます。この問題は、古典的な推定理論を構成する手法を使用して解決されます。それらは次のとおりです。

1. バートレットは、スペクトル推定値を平均してパワースペクトルを計算する方法を提案した。測定値は時間的に等間隔のセグメントに分割され、平均が取られる。これにより、より良い推定値が得られる。^{[ 3 ]}
2. 受信機／出力の波数とインデックスに基づいてセグメントを分割することができます。これにより、スペクトル推定値が増加し、連続するセグメント間の分散が減少します。
3. ウェルチは、データウィンドウ関数を使用して測定値を分割し、周期図を計算し、それらを平均してスペクトル推定値を取得し、高速フーリエ変換（FFT）を使用してパワースペクトルを計算することを提案した。これにより計算速度が向上する。^{[ 4 ]}
4. 平滑化ウィンドウは、周期スペクトルに平滑化スペクトルを乗算することで推定値を平滑化するのに役立ちます。平滑化スペクトルの主ローブが広いほど、周波数分解能を犠牲にして滑らかになります。^{[ 2 ]}

${\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\,e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$^{[ 2 ]}

$${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{\ell }\left|\sum _{n}x\left(n+MI\right)e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}}$$ バートレットの事例^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\left|\sum _{n}g(n)\,x(n)\,e^{-j(w'n)}\right|^{2}}$修正周期図^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{l}\left|\sum _{n}g\left(n\right)\,x\left(n+MI\right)\,e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}}$ウェルチの事件^{[ 2 ]}

利点

フーリエ変換を用いた簡便な方法。

制限事項

1. 上記の方法の中には、シーケンスを時間的にサンプリングするものがあるため、周波数分解能が低下する（エイリアシングが発生する）。
2. 広義の定常ランダム過程の事例数は少ないため、推定値を正確に計算することが困難である。

この方法は、従来の推定理論よりも周波数分解能の高い、より精度の高い推定値を提供します。高分解能推定法では、特定の波数のみを許容し、他の波数を抑制する可変波数ウィンドウを使用します。Capon ^{[ 5 ]}の研究は、波数周波数成分を用いた推定法を確立するのに役立ちました。これにより、より高い周波数分解能の推定値が得られます。使用される最適化ツールが類似しているため、最尤法と似ています。

予測

センサーから得られる出力は、平均がゼロの広義定常ランダム過程である。^{[ 6 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{C}{\left(K_{o}x,w_{o}\right)}&=E\left[\left|y{\left(i,n\right)}\right|^{2}\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\sum \limits _{\alpha =0}^{N-1}\sum \limits _{\beta =0}^{M-1}\sum \limits _{\ell =0}^{N-1}\sum \limits _{m=0}^{M-1}\psi _{e}{\left(\ell ,\alpha ;m,\beta \right)}}}\end{aligned}}}$$

利点

1. 既存の他の手法と比較して、より高い周波数分解能を実現。
2. 従来の固定波数ウィンドウを用いる方法と比較して、可変波数ウィンドウを用いるため、より正確な周波数推定が可能となる。
3. FFTを使用するため、計算速度が速い。

このタイプの推定では、多次元信号を分離可能な関数として選択します。^{[ 1 ]}この特性により、複数の次元で行われるフーリエ解析を順次見ることができます。振幅二乗演算に時間遅延を設けることで、各次元でのフーリエ変換の処理が容易になります。各次元に沿って離散時間多次元フーリエ変換が適用され、最後に最大エントロピー推定器が適用され、振幅が二乗されます。

利点

1. 信号が分離可能であるため、フーリエ解析は柔軟性に富む。
2. 他のスペクトル推定器とは異なり、あらゆる次元の位相成分を保持する。

この方法は、自己回帰スペクトル推定と呼ばれる1次元手法の拡張です。自己回帰モデルでは、出力変数は自身の過去の値に線形に依存します。このモデルでは、パワースペクトルの推定は、特定の領域で既知であると仮定されるランダムプロセスの自己相関係数から係数を推定することに帰着します。パワースペクトル${\displaystyle P_{A}(k_{x},w)}$ランダムなプロセスの${\displaystyle r(i,n)}$は次のように与えられる：^{[ 2 ]}

$${\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)\left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|^{2}}$$

その上、${\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)}$ランダム過程のパワースペクトル${\displaystyle e(i,n)}$これは、伝達関数を持つシステムへの入力として与えられる。${\displaystyle \left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|}$取得する${\displaystyle r(i,n)}$^{[ 2 ]}および${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}$は：

$${\displaystyle A{\left(k_{x},w\right)}=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)\exp(jk_{x}p-jwq)}$$

したがって、電力推定は係数の推定に帰着する。${\displaystyle a\left(p,q\right)}$自己相関関数から${\displaystyle \varphi \left(\ell ,m\right)}$ランダム過程の係数。係数は、実際のランダム信号とランダム信号の予測値との間の平均二乗誤差を最小化する線形予測式を使用して推定することもできます。

制限事項

1. 1次元では、自己相関の一致特性により、同じ数の未知数を持つ同じ数の線形方程式が得られます。しかし、パラメータのセットには自己相関係数を一致させるのに十分な自由度が含まれていないため、多次元では不可能かもしれません^{[ 2 ] 。}
2. 係数の配列は特定の領域に限定されていると仮定します。
3. 線形予測の1次元定式化では、逆フィルタは最小位相特性を持つため、フィルタが安定であることが証明されます。しかし、多次元の場合には必ずしもそうとは限りません。
4. 1次元の定式化では、自己相関行列は正定値行列ですが、多次元の場合には正定値拡張が存在しない場合があります。

このスペクトル推定法では、逆フーリエ変換が既知の自己相関係数と一致するスペクトル推定値を見つけようとします。自己相関係数と一致するようにスペクトル推定値のエントロピーを最大化します。^{[ 2 ]}エントロピーの式は次のように与えられます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\log P{\left(k_{x},w\right)}\,dk_{x}\,dw}$$

パワースペクトル${\displaystyle P\left(k,w\right)}$エントロピーは、既知の自己相関係数と未知の自己相関係数の和として表すことができる。制約のない係数の値を調整することで、エントロピーを最大化することができる。

最大エントロピーは次の形式です: ^{[ 2 ] [ 1 ]}

$${\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{\ell ,m}\lambda {\left(\ell ,m\right)}\exp \left(jk_{x}\ell -jwm\right)}}}$$

λ ( ℓ , m ) は、既知の自己相関係数と一致するように選択する必要があります。

制限事項

1. これは制約付き最適化問題である。ラグランジュ乗数法を用いることで克服できる。^{[ 2 ]}
2. 全極スペクトル推定は、1次元の場合のように多次元の場合の最大エントロピー問題の解にはなりません。これは、全極スペクトルモデルには、既知の自己相関係数に一致させるのに十分な自由度が含まれていないためです。

利点

既知の自己相関係数の測定または推定における誤差は、完全な一致が要求されるわけではないため、考慮に入れることができる。

デメリット

計算量が多すぎる。

これは比較的新しいアプローチです。改良型最尤法 (IMLM) は、2 つの MLM (最尤) 推定量の組み合わせです。^{[ 1 ] [ 7 ]} 波数 k (空間におけるアレイの向きに関する情報を与える) における 2 つの 2 次元アレイ A と B の改良型最尤は、次の関係式で与えられます。^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}$$

配列Bは配列Aのサブセットです。したがって、A>Bであると仮定すると、AのMLMとBのMLMに差がある場合、その周波数における推定スペクトルエネルギーの大部分は、他の周波数からの電力漏れによるものである可能性があります。AのMLMのデエンファシスによってスペクトル推定が改善される可能性があります。これは、BのMLAとAのMLAの差が大きいほど小さくなる重み付き関数を乗じることによって実現されます。

$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$$$${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}$$

どこ${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}$は重み関数であり、次の式で与えられます。^{[ 7 ]}

$${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$$

利点

1. MLMまたはMEM（最大エントロピー法／最大エントロピーの原理）の代替として使用されます。
2. IMLMはMLMよりも解像度が高く、MEMと比較して計算回数が少ない^{[ 7 ] [ 8 ]。}