g期待値

確率論において、g期待値は、もともとShige Pengによって開発された逆確率微分方程式（BSDE）に基づく非線形期待値である。^{[ 1 ]}

確率空間が与えられた場合${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$と${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$は（d次元）ウィーナー過程（その空間上）である。${\displaystyle (W_{t})}$つまり${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])}$、 させて${\displaystyle X}$なれ$\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$測定可能。次式で与えられるBSDEを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}}$

次に、g期待値は${\displaystyle X}$は${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}}$.注意して${\displaystyle X}$はm次元ベクトルである。${\displaystyle Y_{t}}$（各回ごとに）${\displaystyle t}$) はm次元ベクトルであり、${\displaystyle Z_{t}}$は${\displaystyle m\times d}$マトリックス。

実際、条件付き期待値は次のように与えられる。${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}}$そして、条件付き期待値の正式な定義とよく似て、次のことが導かれる。${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]}$いかなる場合でも${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$（そして${\displaystyle 1}$関数は指示関数です）。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}}$ 満足する：

1. ${\displaystyle g(\cdot ,y,z)}$は${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-すべてのプロセスに合わせて調整${\displaystyle (y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}}$
2. ${\displaystyle \int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )}$L2空間（${\displaystyle |\cdot |}$は標準です${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$）
3. ${\displaystyle g}$はリプシッツ連続である${\displaystyle (y,z)}$つまり、すべての${\displaystyle y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$したがって、${\displaystyle |g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)}$ある定数に対して${\displaystyle C}$

すると、任意のランダム変数に対して${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} 一意のペアが存在する${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-適応プロセス${\displaystyle (Y,Z)}$確率微分方程式を満たす。^{[ 2 ]}

特に、${\displaystyle g}$さらに以下の条件も満たす：

1. ${\displaystyle g}$時間的に連続している（${\displaystyle t}$）
2. ${\displaystyle g(t,y,0)\equiv 0}$すべての人々のために${\displaystyle (t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

次に、終端確率変数について${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P}$ ;\mathbb {R} ^{m})} 解プロセスは次のようになる${\displaystyle (Y,Z)}$は二乗可積分である。したがって${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$すべての時間において二乗積分可能である${\displaystyle t}$[ ^{3 ]​}

• 期待値
• ショケの期待
• リスク尺度– ほぼすべての時間整合凸リスク尺度は次のように記述できます。${\displaystyle \rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g}[-X]}$^{[ 4 ]}