ファステンベルクの素数の無限性の証明

数学、特に数論において、ヒレル・ファーステンバーグによる素数の無限性の証明は、整数には無限個の素数が含まれるという位相的な 証明である。よく調べてみると、その証明は位相に関する陳述というよりは、等差数列の特定の性質に関する陳述である。^{[1] [2]}ユークリッドの古典的な証明 とは異なり、ファーステンバーグの証明は背理法による証明である。その証明は、ファーステンバーグがまだイェシバ大学の学部生だった1955年に、 American Mathematical Monthly 誌に掲載された。

整数上の位相、すなわち等間隔整数位相を定義する。これは、部分集合U  ⊆ が等差数列S ( a ,  b ) の和集合（ a  ≠ 0）であるか、空集合（等差数列の零和集合（空和集合）とみなせる）である場合に限り、開集合であると宣言することによって行われる。ここで、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.}$

同様に、Uが開いているのは、 U内のすべてのxに対して、 S ( a ,  x ) ⊆  Uを満たす非ゼロの整数aが存在する場合のみです。位相の公理は簡単に検証されます。

• ∅ は定義により開列であり、まさにシーケンスS (1, 0) なので、やはり開列です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 任意の開集合の和集合は開集合である。すなわち、和集合Uにおける任意の開集合U _iとx の集合に対して、 S ( a _i ,  x ) ⊆  U _iとなる任意の数a _iは、 S ( a _i ,  x ) ⊆  Uであることも示す。
• 2 つの（したがって有限個の）開集合の交差は開集合です。U ₁とU _{2 を}開集合とし、x  ∈  U ₁  ∩  U ₂とします（メンバーシップを確立する数a ₁とa ₂）。aをa ₁とa ₂の最小公倍数とします。すると、S ( a ,  x ) ⊆  S ( a _i ,  x ) ⊆  U _iとなります。

このトポロジには、注目すべき 2 つの特性があります。

1. 空でない開集合には無限列が含まれるため、有限の空でない集合は開集合にはなり得ません。言い換えると、有限の空でない集合の補集合は閉集合にはなり得ません。
2. 基底集合S ( a ,  b )は開集合と閉集合の両方を持ちます。定義により開集合であり、S ( a ,  b ) を開集合の補集合として次のように記述できます。

${\displaystyle S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).}$

素数の倍数でない整数は-1と+1だけである。つまり

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime} }S(p,0).}$

さて、最初の位相的性質により、左側の集合は閉じることができません。一方、2 番目の位相的性質により、集合S ( p , 0) は閉じています。したがって、素数が有限個しかない場合、右側の集合は閉じた集合の有限和集合となり、したがって閉じています。これは矛盾であるため、素数は無限に存在する必要があります。

上の等間隔整数位相は、の包含によって誘導される位相であり、 は、その原始有限位相を持つ 原始有限整数環です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

これは、実数直線から継承された部分空間位相を持つ有理数に同相であり、^[3]のような の任意の有限部分集合は開集合にならない ことが明らかです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{-1,+1\}}$

• Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (1998). 「Proofs from The Book」 (文書). ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag .
• ファーステンバーグ、ハリー(1955)。 「素数の無限性について」。アメリカ数学月刊誌。62 (5): 353。doi :10.2307/2307043。JSTOR 2307043。MR  0068566  。
• マーサー、イドリスD. ( 2009)。「素数の無限性に関するファーステンバーグの証明について」(PDF)。アメリカ数学月刊誌。116 (4): 355–356。CiteSeerX 10.1.1.559.9528。doi : 10.4169 /193009709X470218。 
• キース・コンラッド https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf
• Lovas, R.; Mező, I. (2015). 「Furstenberg位相空間に関するいくつかの観察」. Elemente der Mathematik . 70 (3): 103–116. doi :10.4171/EM/283. S2CID  126337479.

• ファステンバーグの証明では、素数は無限に存在することが証明されている。
• PlanetMathにおける Fürstenberg による素数の無限性の証明。