数学 において 、 フーグレデの定理は 作用素論 における結果であり 、 ベント・フーグレデ にちなんで名付けられました。
結果 定理 (Fuglede) T と N を 複素ヒルベルト空間上の有界作用素と し、 Nは 正規 とする 。 TN = NT ならば、 TN* = N*T であり、ここで N* は N の 随伴を 表す 。
T = N とするとわかるように、 N の正規性は必須である。 T が自己随伴である 場合、 N が正規であるかどうかに関係なく、この主張は自明である。
T
いいえ
∗
= （ いいえ T
）
∗
= （ T いいえ
）
∗
=
いいえ
∗
T 。
{\displaystyle TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T.}
仮の証明 : 基礎となるヒルベルト空間が有限次元である場合、 スペクトル定理に よれば、 N は P i が直交する対射影
である 形になります
。TN = NTは TP i = P i T のときのみ成り立つことが期待されます。実際、これは初等的な議論によって証明できます (たとえば、すべての P i は N の多項式として表現可能である こと が示され、この理由から、 T が N と可換である 場合、 P i とも可換である必要があります...)。したがって、 T は Nとも可換である必要があります
。
いいえ =
∑
私
λ
私
ポ
私
{\displaystyle N=\sum _{i}\lambda _{i}P_{i}}
いいえ
∗
=
∑
私
λ ¯
私
ポ
私
。
{\displaystyle N^{*}=\sum _{i}{{\bar {\lambda }}_{i}}P_{i}.}
一般に、ヒルベルト空間が有限次元でない場合、正規作用素 N は そのスペクトル σ ( N ) 上に 射影値測度 P を生じ、 σ ( N ) の各ボレル部分集合に 射影 P Ω を割り当てる 。N は次のように表される
。
いいえ =
∫
σ （ いいえ ）
λ d ポ （ λ ） 。
{\displaystyle N=\int _{\sigma (N)}\lambda dP(\lambda ).}
有限次元の場合とは異なり、 TN = NT が TP Ω = P Ω T を 意味することは決して明らかではありません。したがって、 T が 次の形式の任意の単純な関数と可換である
こともそれほど明らかではありません。
ρ =
∑
私
λ ¯
ポ
Ω
私
。
{\displaystyle \rho =\sum _{i}{\bar {\lambda }}P_{\Omega _{i}}.}
実際、有界で正規の、自己随伴でない演算子T のスペクトル分解の構築に従うと、 T が と可換である ことを確認するための 最も簡単な方法は、 T が N および N* の 両方と可換であると仮定することであり 、悪循環が生じることがわかります。
ポ
Ω
私
{\displaystyle P_{\オメガ _{i}}}
それがフグレデの定理の関連性です。後者の仮説は実際には必要ありません。
パトナムの一般化 以下は、特殊なケースとして Fuglede の結果を示しています。下に示す Rosenblum による証明は、 N = M と仮定した場合に Fuglede が定理に対して示した証明です 。
定理（カルヴィン・リチャード・パトナム） [1] T 、 M 、 Nを 複素 ヒルベルト空間上の 線型作用素 と し 、 M と N が 正規 、 T が有界、 MT = TNと仮定すると、 M * T = TN *
と なる。
最初の証明（マーヴィン・ローゼンブラム） ：帰納法によって、仮説はすべての k に対して M k T = TN k であることを意味します。したがって、 の任意の λ に対して 、
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
e
λ ¯
ま
T = T
e
λ ¯
いいえ
。
{\displaystyle e^{{\bar {\lambda }}M}T=Te^{{\bar {\lambda }}N}.}
関数を考えてみましょう
。
これは が
正規分布な のでに
等しく 、同様にです 。しかし、 なので U はユニタリであり
、したがってすべての λ に対してノルム 1 を持ちます。同じことが V (λ)
にも当てはまる ので、
ふ （ λ ） =
e
λ
ま
∗
T
e
− λ
いいえ
∗
。
{\displaystyle F(\lambda )=e^{\lambda M^{*}}Te^{-\lambda N^{*}}.}
e
λ
ま
∗
[
e
−
λ ¯
ま
T
e
λ ¯
いいえ
]
e
− λ
いいえ
∗
= あなた （ λ ） T 五 （ λ
）
− 1
、
{\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1},}
あなた （ λ ） =
e
λ
ま
∗
−
λ ¯
ま
{\displaystyle U(\lambda )=e^{\lambda M^{*}-{\bar {\lambda }}M}}
ま
{\displaystyle M}
五 （ λ ） =
e
λ
いいえ
∗
−
λ ¯
いいえ
{\displaystyle V(\lambda )=e^{\lambda N^{*}-{\bar {\lambda }}N}}
あなた （ λ
）
∗
=
e
λ ¯
ま − λ
ま
∗
= あなた （ λ
）
− 1
{\displaystyle U(\lambda )^{*}=e^{{\bar {\lambda }}M-\lambda M^{*}}=U(\lambda )^{-1}}
‖ ふ （ λ ） ‖ ≤ ‖ T ‖
∀ λ 。
{\displaystyle \|F(\lambda )\|\leq \|T\|\ \forall \lambda .}
したがって、 F は 有界解析ベクトル値関数であり、定数であり、 F (0) = T に等しくなります。 λ が小さい場合の展開における 1 次項を考慮すると、 M*T = TN* でなければなりません。
フーグレデの最初の論文は 1950 年に発表され、1951 年にパトナムによって上記の形式に拡張されました。 [1] 上記の短い証明は、1958 年にローゼンブラムによって最初に発表されました。これは非常に簡潔ですが、非有界演算子のケースも考慮した元の証明ほど一般性はありません。パトナムの定理の別の簡単な証明は次のとおりです。
2番目の証明: 行列を考える
T ′
=
[
0
0
T
0
]
そして
いいえ ′
=
[
いいえ
0
0
ま
]
。
{\displaystyle T'={\begin{bmatrix}0&0\\T&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad N'={\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}}.}
演算子 N'は 正規演算子であり、仮定により T' N' = N' T'と なる。フーグレの定理により、
T ′
（
いいえ ′
）
∗
= （
いいえ ′
）
∗
T ′
。
{\displaystyle T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.}
エントリを比較すると、目的の結果が得られます。
パトナムの一般化から、次のことが推測できます。
系 2 つの正規演算子 M と N が類似している場合、それらはユニタリ的に同値です。
証明 : MS = SN と仮定する。ここで S は有界可逆演算子である。パトナムの結果は M*S = SN* を意味する。つまり
S
− 1
ま
∗
S =
いいえ
∗
。
{\displaystyle S^{-1}M^{*}S=N^{*}.}
上記の式の随伴関数をとると、
S
∗
ま （
S
− 1
）
∗
= いいえ 。
{\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.}
それで
S
∗
ま （
S
− 1
）
∗
=
S
− 1
ま S ⇒ S
S
∗
ま （ S
S
∗
）
− 1
= ま 。
{\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MS\quad \Rightarrow \quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.}
S*=VR とし 、 V は ユニタリ（ S は可逆なので）、 R は SS* の正の平方根とする 。 R は SS* 上の多項式の極限なので 、上記は R が M と可換であることを意味する 。また、可逆でもある。すると
いいえ =
S
∗
ま （
S
∗
）
− 1
= 五 R ま
R
− 1
五
∗
= 五 ま
五
∗
。
{\displaystyle N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.}
系 M と N が 正規演算子であり、 MN = NM で ある場合 、 MN も正規演算子です。
証明 ：この議論はフーグレの定理のみを引用している。直接計算できる。
（ ま いいえ ） （ ま いいえ
）
∗
= ま いいえ （ いいえ ま
）
∗
= ま いいえ
ま
∗
いいえ
∗
。
{\displaystyle (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.}
フグレデによれば、上記は
= ま
ま
∗
いいえ
いいえ
∗
=
ま
∗
ま
いいえ
∗
いいえ 。
{\displaystyle =MM^{*}NN^{*}=M^{*}MN^{*}N.}
しかし M と Nは 正常なので
=
ま
∗
いいえ
∗
ま いいえ = （ ま いいえ
）
∗
ま いいえ 。
{\displaystyle =M^{*}N^{*}MN=(MN)^{*}MN.}
C* -代数 この定理は、 C*-代数 の要素に関するステートメントとして言い換えることができます 。
定理 (Fuglede-Putnam-Rosenblum) C* 代数 A と z の 2 つの正規元 x、yで xz = zy が成立すると します 。このとき、 x* z = zy* が成立します。
参考文献
^ ab Putnam, CR (1951年4月). 「ヒルベルト空間における正規演算子について」. American Journal of Mathematics . 73 (2): 357–362. doi :10.2307/2372180. JSTOR 2372180.
フーグレデ、ベント。正規演算子の可換定理 — PNAS ベルベリアン、スターリング K. (1974)、 「関数解析と作用素理論の講義」 、数学大学院テキスト、第 15 巻、ニューヨーク-ハイデルベルク-ベルリン: シュプリンガー出版、p. 274、 ISBN 0-387-90080-2 、 MR 0417727 。 ルディン、ウォルター (1973)。 関数解析 。純粋および応用数学の国際シリーズ。第 25 巻 (初版)。ニューヨーク、NY: McGraw -Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 9780070542259 。
![{\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ce302f3d8acbfbe72ae2515c95a18384c84430)
