フレシェフィルター

数学では、集合上のフレシェフィルター（コフィントフィルターとも呼ばれる）${\displaystyle X}$は、あるサブセットの集合である。${\displaystyle X}$（つまり、それは冪集合の特定の部分集合である）${\displaystyle X}$) サブセット${\displaystyle F}$の${\displaystyle X}$は、補集合が${\displaystyle F}$で${\displaystyle X}$有限である。そのような集合は${\displaystyle F}$は、​${\displaystyle X}$そのため、これは別の意味でコフィントフィルターとも呼ばれます。${\displaystyle X}$。

フレシェフィルターは、フィルターの起源である位相幾何学において重要であり、集合の冪集合が集合包含関係 において半順序集合となる（より具体的には、束を形成する）ことから、順序理論や束理論と関連している。フレシェフィルターは、位相幾何学を研究したフランスの数学者モーリス・フレシェ（1878-1973）にちなんで名付けられた。

サブセット${\displaystyle A}$集合の${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$補集合が${\displaystyle X}$（つまり、集合${\displaystyle X\setminus A}$）は有限である。上のフレシェフィルター${\displaystyle X}$、で示される${\displaystyle F}$は、 のすべての余有限部分集合の集合です。${\displaystyle X}$つまり：^{[ 1 ]}$${\displaystyle F=\{A\subseteq X:X\setminus A\;{\text{は有限である}}\}.}$$

これにより${\displaystyle F}$格子上のフィルター${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq ),}$パワーセット$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$の${\displaystyle X}$セットに含まれる。

賃貸${\displaystyle S^{\operatorname {c} }}$集合の補集合を表す${\displaystyle S}$で${\displaystyle X,}$以下の2つの条件が成り立つ。

交差条件

2 つの集合が有限に補集合である場合${\displaystyle X}$ならば、それらの交点もそうである。${\displaystyle (A\cap B)^{\operatorname {c} }=A^{\operatorname {c} }\cup B^{\operatorname {c} },}$そして

上部セットの状態

集合が有限補集合である場合${\displaystyle X}$ならば、その上位集合も${\displaystyle X}$。

ベースセット${\displaystyle X}$有限であれば、${\displaystyle F={\mathcal {P}}(X)}$すべての部分集合は${\displaystyle X}$、特にすべての補集合は有限である。このケースは定義により除外される場合もあれば、不適切フィルターと呼ばれる場合もある。${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}許可する${\displaystyle X}$有限であることは、フレシェフィルタが自由かつ非主要素であるという条件に唯一の例外を生み出す。なぜなら、有限集合上のフィルタは自由ではあり得ず、非主要素フィルタは単一要素をメンバーとして含むことができないからである。

もし${\displaystyle X}$は無限であり、${\displaystyle F}$無限です。${\displaystyle X}$有限個のメンバーを除いたもの。さらに、${\displaystyle F}$は無限である。なぜなら、その部分集合の 1 つはすべての集合だからである。${\displaystyle \{x\}^{\operatorname {C} },}$どこ${\displaystyle x\in X.}$

フレシェフィルターは、上記の有限の場合を除いて、自由かつ非主フィルターであり、すべての自由フィルターに含まれます。また、(無限) のすべての有限部分集合のイデアルの双対フィルターでもあります。${\displaystyle X}$。

フレシェフィルターは必ずしも超フィルター（または最大固有フィルター）ではない。パワーセットを考えてみよう${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),}$どこ${\displaystyle \mathbb {N} }$は自然数です。偶数の集合は奇数の集合の補集合です。これらの集合はどちらも有限ではないため、どちらの集合もフレシェフィルターには含まれません。${\displaystyle \mathbb {N} .}$ しかし、超フィルター（およびその他の非退化フィルター）が自由であるのは、それがフレシェフィルターを含む場合に限る。超フィルター補題は、すべての非退化フィルターが何らかの超フィルターに含まれることを述べている。自由超フィルターの存在は、1930年にタルスキによって選択公理と同等の定理に基づいて確立され、非標準解析における超実数の構成に使用されている。^{[ 3 ]}

撮影現場で${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の無限区間の集合 ${\displaystyle B=\{(n,\infty ):n\in \mathbb {N} \}}$ は Fréchetフィルタ ベース、つまり、次の Fréchet フィルタです。${\displaystyle \mathbb {N} }$要素のすべてのスーパーセットから構成される${\displaystyle B}$。

• ブール素イデアル定理– ブール代数におけるイデアルは素イデアルに拡張できる 
• フィルター（数学）– 半順序集合の特別な部分集合 
• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 
• トポロジーにおけるフィルター– フィルターを用いてすべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付ける 
• ウルトラフィルターセット– 最大限の適切なフィルター 

• ワイスタイン、エリック W. 「コフィニット フィルター」マスワールド。
• JB Nation、「格子理論に関するノート」、講義ノート、2017年改訂。