フリードリヒスの不等式

数学において、フリードリヒスの不等式はクルト・フリードリヒスによる関数解析の定理である。これは関数の弱導関数のL ^p境界と領域の幾何学を用いて関数のL ^pノルムに境界を置き、ソボレフ空間上の特定のノルムが同値であることを示すために使用できる。フリードリヒスの不等式は、 k = 1の場合を扱う ポアンカレ-ヴィルティンガーの不等式を一般化したものである 。

を直径のユークリッド空間の有界部分集合とする。 がソボレフ空間 内にあると仮定する。つまり、 であり、境界上ののトレースが 0 であるとする。すると、 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\オメガ )}$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$$${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}$$

上記において

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$L ^pノルムを表します。
• α = ( α ₁ , ..., α _n ) は、ノルム | を持つマルチインデックスです。 α | = α ₁ + ... + α _n ;
• D ^α u は混合偏微分である $${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$$

• ポアンカレ不等式

• Rektorys, Karel (2001) [1977]. 「フリードリヒの不等式。ポアンカレの不等式」。数学、科学、工学における変分法（第 2 版）。ドルドレヒト: Reidel。pp. 188–198。ISBN 1-4020-0297-1。