軟質材料の破壊

軟質材料の破壊には、亀裂の伝播が起こる前に大きな変形と亀裂の鈍化が伴います。その結果、亀裂先端近くの応力場は、線形弾性破壊力学で見られる従来の定式化とは大きく異なります。したがって、これらの用途の破壊解析には特別な注意が必要です。^[1] 線形弾性破壊力学 (LEFM) と K 場 (破壊力学を参照) は、無限小変形の仮定に基づいているため、軟質材料の破壊を記述するのには適していません。ただし、LEFM の一般的なアプローチは、軟質材料の破壊の基礎を理解するために適用できます。軟質材料の変形と亀裂応力場のソリューションは、大きな変形を考慮しており、有限ひずみ弾性静力学フレームワークと超弾性材料モデルから導出されます。

ソフトマテリアル（ソフトマター）は、例えば柔らかい生物組織や合成エラストマーなどの熱変化に非常に敏感な材料の一種です。そのため、ソフトマテリアルは亀裂が広がる前に大きく変形する可能性があります。^[2]

超弾性材料モデルは、ひずみエネルギー密度関数を通じて応力とひずみの関係を取得するために使用されます。軟質材料の応力とひずみの関係を導出するための関連モデルは、 Mooney-Rivlin 固体、 Neo-Hookean、指数的に硬化する材料、および Gent 超弾性モデルです。このページでは、主に Neo-Hookean モデルから結果が導出されます。

ネオフックモデルは、硬化係数を考慮して一般化されます。

${\displaystyle W={\frac {\mu }{2b}}\left\{\left[1+{\frac {b}{n}}(I-3)\right]^{n}-1\right\}},}$

ここで、b>0およびn>1/2は材料パラメータであり、コーシー・グリーン変形テンソルの最初の不変量である。 ${\displaystyle I=I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},}$

主要な区間は どこにありますか。${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$

n=1 に設定すると、ネオフックモデルの特定の応力-ひずみ関数が導出されます。

${\displaystyle W={\frac {\mu }{2}}(I-3)}$。

LEFM はもはや適用できないため、応力場と変形場の計算で大きな変形を捉えるために代替方法が採用されています。この文脈では、漸近解析の方法が関連しています。

漸近解析法は、亀裂先端を漸近的に解析し、亀裂先端付近の解を特徴づけることができる変形座標の級数展開を求めるものである。この解析は非線形固有値問題に還元可能である。^[3]

この問題は、平面ひずみの条件下で均一な一軸張力で無限に負荷された無限固体の亀裂に基づいて定式化されます (図 1 を参照)。亀裂が変形して進行するにつれて、現在の構成の座標は、 直交基底ではと で表され、極基底では と で表されます。座標とは、変形されていない座標 ( ) の関数であり、r→0 の亀裂先端付近では、次のように指定できます。 ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle r,\theta }$

${\displaystyle y_{\alpha }(r,\theta )=r^{m_{\alpha }}\upsilon _{\alpha }(\theta )+r^{p_{\alpha }}q_{\alpha } (\θ )+...}$

${\displaystyle m_{\alpha },}$ ${\displaystyle \alpha =1,2,}$

ここで、、は未知の指数であり、、は 角度の変化を記述する未知の関数です。 ${\displaystyle m_{\alpha}}$${\displaystyle p_{\alpha}}$${\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}$${\displaystyle q_{\alpha }(\theta )}$

固有値を得るために、上記の式を構成モデルに代入すると、対応する公称応力成分が得られます。次に、応力を平衡方程式（LEFM理論と同じ定式化）に代入し、境界条件を適用します。最も支配的な項が保持され、およびの固有値問題が生じます。^[4]${\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}$${\displaystyle m_{\alpha}}$

モードI条件下での均質なネオフック固体（n = 1）の場合、平面ひずみ構成の変形座標は次のように与えられる^{[4] [5]}

${\displaystyle y_{1}=-b_{0}r\sin ^{2}(\theta /2),\quad y_{2}=ar^{1/2}\sin(\theta /2), }$

ここで、a と は、適用される荷重と試験片の形状に依存する未知の正の振幅です。 ${\displaystyle b_{0}}$

公称応力（または第 1ピオラ・キルヒホッフ応力、このページでは で示される）の主要な項は次のとおりです。 ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\mu b_{0},\quad \sigma _{12}=o(1),}$

${\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}$

${\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}$

したがって、およびは 亀裂の先端で境界が定められ、 およびは 同じ特異点を持ちます。 ${\displaystyle \sigma _{11}}$${\displaystyle \sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{22}}$

真応力（またはコーシー応力、このページでは で示される）の主要な項は、 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau _{11}=\mu b_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta /2),}$

${\displaystyle \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}ab_{0}r^{-1/2}\sin ^{2}(\theta /2)、}$

${\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}$

によって完全に定義される唯一の真の応力成分は です 。これはまた、最も厳しい特異点を示します。これにより、応力が現在の構成で与えられるか参照構成で与えられるかによって特異点が異なることは明らかです。さらに、LEFMでは、モードIの真の応力場は の特異点を持ち、^[6]は の特異点よりも弱いです。 ${\displaystyle \tau_{22}}$${\displaystyle {r}^{-1/2}}$${\displaystyle \tau_{22}}$

LEFM では、先端近傍の変位場はモード I の応力集中係数のみに依存しますが、ここでは、大きな変形の場合、変位は 2 つのパラメータ (平面ひずみ条件の場合は a と) に依存することが示されています。 ${\displaystyle b_{0}}$

均質材料ネオフック固体（n=1）におけるモードI構成の亀裂先端変形場は^{[4] [5]で与えられる。}

${\displaystyle y_{1}=cr\,\cos \theta ,\quad y_{2}=a{\sqrt {r}}\sin(\theta /2),}$

ここで、a と c は遠方場境界条件によって決定される正の独立した振幅です。

公称応力の主な項は

${\displaystyle \sigma _{11}=\mu c,\quad \sigma _{12}=o(1),}$

${\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}$

${\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}$

そして本当のストレスの要素は

${\displaystyle \tau _{11}=\mu c^{2},\quad \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}acr^{- 1/2}\sin(\θ /2),}$

${\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}$

同様に、変位は 2 つのパラメータ (平面応力条件の場合は a と c) に依存し、その 項では特異性がより強くなります。 ${\displaystyle \tau_{22}}$

変形座標における真応力の分布（図1B参照）は、亀裂の伝播や鈍化現象の解析に関係する可能性があり、また、亀裂の変形の実験結果を検証する際にも役立ちます。

J積分は亀裂に流れるエネルギーを表すため、エネルギー解放率G を計算するために使用されます。さらに、破壊基準としても使用できます。この積分は、材料が弾性であり、微細構造に損傷が発生していない限り、経路に依存しないことがわかります。

基準構成における円形経路上のJを評価すると、次の式が得られる。

${\displaystyle J=\pi A\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{2-n}a^{2n},}$

平面ひずみモード I の場合、a は の主要次数項の振幅であり、A と n はひずみエネルギー関数からの材料パラメータです。 ${\displaystyle y_{2}}$

ネオヘオキアン材料の平面応力モードIの場合、Jは次のように表される。

${\displaystyle J={\frac {\mu \pi }{2}}\left({\frac {b}{n}}\right)^{n-1}\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{1-n}a^{2n},}$

ここで、b と n は GNH 固体の材料パラメータです。n=1、b=1、のネオフックモデルの特定のケースでは、モード I の平面応力と平面ひずみの J 積分は同じです。 ${\displaystyle A=\mu /2}$

${\displaystyle J={\frac {\mu \pi a^{2}}{4}}.}$

J積分は実験によって決定できます。一般的な実験の1つは、図2に示すように、無限に長いストリップの純せん断です。上端と下端はグリップで固定され、グリップを垂直方向に±∆だけ引っ張ることで荷重が適用されます。^[4]このセットは平面応力状態を生成します。

これらの条件下では、J積分は次のように評価される。

${\displaystyle J=2h_{0}W(I_{1},I_{2})=2h_{0}\Psi (\lambda ),}$

どこ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=\lambda ^{2}+\lambda ^{-2}+1,}$ ${\displaystyle \lambda =1+{\frac {\Delta }{h_{0}}},}$

はストリップの変形していない状態の高さです。この関数は、ストリップに作用する公称応力を測定することによって決定されます。 ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle \Psi (\lambda )}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \Psi =\int _{1}^{\lambda }\sigma (\lambda )d\lambda .}$

したがって、各グリップの強制変位 ± ∆ から、対応する公称応力の J 積分を決定することができます。J 積分を使用すると、いくつかの真の応力成分の振幅 (パラメーター a) を見つけることができます。ただし、他の応力成分の振幅は、c (平面応力条件下など) などの他のパラメーターに依存し 、純粋せん断実験では決定できません。それでも、純粋せん断実験は、軟質材料の破壊靭性の特性評価を可能にするため、非常に重要です。 ${\displaystyle \sigma _{11}}$

軟質接着剤と剛性基板間の接着の相互作用を解析するために、GNH材料と剛性基板間の界面亀裂問題に対する漸近解が指定されている。^[5]ここで考慮される界面亀裂構成は、横方向の滑りが無視される図3に示されています。

n=1、かつの特殊な新フックの場合 、変形座標の解は ${\displaystyle {\overline {v_{1}}}={\overline {v_{2}}}=\cos \theta }$

${\displaystyle y_{1}=a_{1}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r\cos \theta ,}$

${\displaystyle y_{2}=a_{2}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right),}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle y_{1}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}y_{2}-\left({\frac {y_{2}}{a_{2}}}\right)^{2}.}$

上記の式によると、このタイプのインターフェース上の亀裂は放物線状に開くことがわかります。これは、さまざまな比率に対して正規 化された座標をプロットすることで確認できます(図 4 を参照)。 ${\displaystyle y_{1}/a_{2}^{2}}$${\displaystyle y_{2}/a_{2}^{2}}$${\displaystyle a_{1}/a_{2}}$

同じ硬化特性を持つ2枚のGNHシート間の界面の解析については、GaubelleとKnaussが説明したモデルを参照してください。^[5]

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