ライトオメガ関数

数学において、ライトオメガ関数またはライト関数[^{注 1]は}ωと表記され、ランバートW関数に基づいて次のように定義されます。

${\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{ z}).}$

この関数の主な用途の1つは方程式z  = ln( z )の解法であり、唯一の解はz  =  e ^{−ω( π  i )}によって与えられる。

y = ω( z ) は、 x ≤ −1の場合 、方程式y  + ln( y ) =  zの唯一の解です。これら 2 つの値を除いて、ライトオメガ関数は連続であり、解析的ですらあります。 ${\displaystyle z\neq x\pm i\pi }$

ライトオメガ関数は次の関係を満たします。 ${\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}$

これはまた、微分方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}$

ここでωは解析的であり（変数分離を実行して方程式を復元するとわかる）、その結果その積分は次のように表される。 ${\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}$

${\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}}$

この点の周りのテイラー級数は、次の形になります。 ${\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}$

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}}$

どこ

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

その中で

${\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}$

は2次オイラー数です。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}$

• 複素平面上のライトオメガ関数のプロット
• 
  z = Re( ω ( x + iy ) ) である。
• 
  z = Im( ω ( x + i y ))
• 
  ω ( x + i y )

• 「ライトω関数について」ロバート・コーレスとデビッド・ジェフリー