フィバイナリ数

数学において、フィブバイナリ数とは、 2 進数表現に2 つの連続する 1 が含まれない数のことです。つまり、それらは異なる非連続の 2 のべき乗の和です。^{[ 1 ] [ 2 ]}

フィボナッチ数は、二進数とフィボナッチ数の特定の性質を組み合わせたものであるため、マルク・ルブランによってその名が付けられました。^{[ 1 ]}

• 任意の2のべき乗より小さいフィボナッチ数の個数をフィボナッチ数といいます。例えば、32より小さいフィボナッチ数は13個あり、0、1、2、4、5、8、9、10、16、17、18、20、21です。^{[ 1 ]}
• フィボナッチ数を定義するためにバイナリで使用される、連続する 2 つの 1 がないという条件は、連続しないフィボナッチ数の和として任意の数を表すゼッケンドルフ表現で使用される条件と同じです。 ^{[ 1 ]}
• の${\displaystyle n}$番目のフィビバイナリ数（0を0番目の数として数える）は、次のように表すことで計算できます。${\displaystyle n}$ゼッケンドルフ表現で表し、結果として得られるバイナリ数列を数のバイナリ表現として再解釈します。^{[ 1 ]}例えば、19 のゼッケンドルフ表現は 101001 です (ここで 1 は、19 = 13 + 5 + 1 の展開で使用されるフィボナッチ数の位置を示します)。バイナリ数列 101001 をバイナリ数として解釈すると、41 = 32 + 8 + 1となり、19 番目のフィボナッチ数は 41 です。
• の${\displaystyle n}$番目のフィビバイナリ数（ここでも、0 を 0 番目として数える）は、次の場合に限り偶数または奇数となる。${\displaystyle n}$フィボナッチ数列の 番目の値は、それぞれ 0 または 1 です。^{[ 3 ]}

連続する 2 つの 1 が存在しないという性質が正規言語を定義するため、フィビバイナリ数のバイナリ表現は有限オートマトンによって認識でき、これはフィビバイナリ数が2-オートマトン集合を形成することを意味します。^{[ 4 ]}

フィビ二進数には、異なる4のべき乗の和であるモーザー・デ・ブルイン数列が含まれます。フィビ二進数はゼッケンドルフ表現を二進数として再解釈することによって形成できるのと同様に、モーザー・デ・ブルイン数列は二進数表現を四進数として再解釈することによって形成できます。^{[ 5 ]}

番号${\displaystyle n}$は、二項係数が${\displaystyle {\tbinom {3n}{n}}}$奇妙だ。^{[ 1 ]}関連して、${\displaystyle n}$フィバイナリであるのは、第2種中心スターリング数が${\displaystyle \textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}}$奇妙だ。^{[ 6 ]}

すべてのフィボナッチ数${\displaystyle f_{i}}$2つの形態のいずれかをとる$2f_j$または${\displaystyle 4f_{j}+1}$、 どこ${\displaystyle f_{j}}$は別のフィビバイナリ数です。^{[ 3 ] [ 7 ]} 同様に、指数がフィビバイナリ数であるべき級数、 $${\displaystyle B(x)=1+x+x^{2}+x^{4}+x^{5}+x^{8}+\cdots ,}$$関数方程式^{[ 2 ]} に従う$${\displaystyle B(x)=xB(x^{4})+B(x^{2}).}$$

Madritsch & Wagner (2010)は、すべての部分がフィボナッチ数である整数分割の数の漸近式を提供している。^{[ 7 ]}

ハイパーキューブグラフの場合${\displaystyle Q_{d}}$寸法${\displaystyle d}$0から始まる整数でインデックス付けされます$2d-1$2 つの頂点が隣接しているのは、それらのインデックスがハミング距離1 のバイナリ表現を持つ場合であり、その場合、フィボナッチ バイナリ数でインデックス付けされた頂点のサブセットは、誘導サブグラフとしてフィボナッチ キューブを形成します。^{[ 8 ]}

すべての数にはフィビバイナリー倍数があります。たとえば、15はフィビバイナリーではありませんが、15に11を掛けると165（10100101 ₂）となり、これはフィビバイナリーです。^{[ 9 ]}