疎多項式

数学において、疎多項式（または、欠乏多項式^[1]または少数項式）^[2]は、その次数と変数の数から推測されるよりもはるかに少ない項を持つ多項式です。たとえば、は次数がの三項式であるため、疎多項式です。 ${\displaystyle x^{10}+3x^{3}+1}$${\displaystyle 10}$

疎多項式を研究する動機は、多項式の次数ではなく単項式の構造に集中することであり、これは例えば、ベルンシュタイン・クシュニレンコの定理とベズーの定理を比較することでわかる。疎多項式の研究では、多項式の乗算^{[4] [5]}、除算^{[6] 、}根を求めるアルゴリズム[ ^{7 ]}、多項式の最大公約数^[8]などの問題に対して、実行時間が次数ではなく項の数の関数として増加するアルゴリズムの研究も含まれている。疎多項式は純粋数学、特にガロア群の研究でも使用されてきた。これは、疎多項式の特定の族のガロア群を他の多項式よりも簡単に決定できるためである。^[9]

疎多項式によって決定される代数多様体は単純な構造を持ち、それは特定の関連する微分方程式の解の構造にも反映されている。^[2]さらに、一変量疎多項式には疎正定理が存在する。これは、多項式の非負性は、次数が多項式の単項式の個数のみに依存する SOS 多項式によって証明できるというものである。^[10]

疎多項式は、累乗の和または差の方程式でよく登場します。2つの立方体の和は、となります。可能な項のうち、 のみが表示されるため、これは疎多項式です。他の例としては、恒等式や などがあります。また、2 つの多項式の積は疎多項式になります。5次方程式のBring–Jerrard 正規形も疎多項式です。 ${\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (xy)\sum _{k=0}^{N-1}x^{k}y^{N-1-k}=x^{N}-y^{N}}$${\displaystyle (x+y)\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}x^{k}y^{2n-k}=x^{2n+1}+y^{2n+1}}$${\displaystyle x^{5}+px+q}$

• 少数派理論の主要な貢献者の一人、アスコルド・ホヴァンスキー。